Η 100στάρα κι' ο γεωμετρικός μέσος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Η 100στάρα κι' ο γεωμετρικός μέσος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Νοέμ 06, 2019 1:31 pm

Χαιρετώ.
Η 100-στάρα και ο γεωμετρικός μέσος..PNG
Η 100-στάρα και ο γεωμετρικός μέσος..PNG (8.26 KiB) Προβλήθηκε 262 φορές
Το τρίγωνο ABC του σχήματος έχει CD=AC=AB και \widehat{BAC}=100^{0}. Αν \widehat{ACE}=30^{0} και AI\perp  CE τότε

Να εξεταστεί αν το BE είναι γεωμετρικός μέσος των ID και AC. Σας ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1829
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Η 100στάρα κι' ο γεωμετρικός μέσος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Νοέμ 10, 2019 12:43 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τετ Νοέμ 06, 2019 1:31 pm
Χαιρετώ.
Η 100-στάρα και ο γεωμετρικός μέσος..PNG
Το τρίγωνο ABC του σχήματος έχει CD=AC=AB και \widehat{BAC}=100^{0}. Αν \widehat{ACE}=30^{0} και AI\perp  CE τότε

Να εξεταστεί αν το BE είναι γεωμετρικός μέσος των ID και AC. Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Δεν νομίζω να είναι κι ο πιο εύκολος τρόπος...



Στο παρακάτω σχήμα,εύκολα προκύπτουν  \angle AKC= \angle AIC=80^0

οπότε AKIC εγγράψιμο,άρα DI . DC=DK . DA \Rightarrow DI . AC=DK . DA

Είναι, \angle BAI= \angle ABI= \angle ACB=40^0 \Rightarrow AI=IB και  b^2=BI . a \Rightarrow BI=AI= \dfrac{b^2}{a} ,άρα BE=b- \dfrac{b^2}{a}

Έστω τώρα AI=IZ οπότε  \angle ABZ=90^0 \Rightarrow AE . b=AN . AZ \Rightarrow AE . b= \dfrac{b}{2} . 2 \dfrac{b^2}{a}  \Rightarrow AE= \dfrac{b^2}{a}=AI=BI

Έστω σημείο F στην BC με \angle IAF=20^0.Τότε \angle FAC=40^0 και AF=FC=AI=AE κι

επειδή   \angle DAF= \angle EAD=30^0 \Rightarrow  \triangle AEF ισόπλευρο.

Άρα ED=DF=b-FC=b-AE=b- \dfrac{b^2}{a}=BE κι

επειδή    \angle EFD=20^0 \Rightarrow  \angle KEF= \angle KFE=10^0 \Rightarrow  \angle KFD= \angle KAF=30^0

Έτσι,η EF=BE είναι εφαπτόμενη του περίκυκλου του \triangle AKF \Rightarrow DF^2=EB^2=DK . DA=DI . AC
Η 100στάρα και ο γεωμετρικός μέσος.png
Η 100στάρα και ο γεωμετρικός μέσος.png (33.1 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Η 100στάρα κι' ο γεωμετρικός μέσος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Νοέμ 18, 2019 6:37 pm

Καλησπέρα. Σ' ευχαριστώ Μιχάλη για την εξόχως Γεωμετρική λύση!
Ας δούμε και την ακόλουθη με χρήση του σχήματος:
H 100στάρα...PNG
H 100στάρα...PNG (12.64 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές
Βρίσκουμε \widehat{DAI}=10^{0}=\widehat{KCI} οπότε όπως γράφει κι' ο Μιχάλης το AKIC είναι εγγράψιμο

και συνεπώς DI\cdot AC=DI\cdot DC=DK\cdot DA.

Ο Νόμος Ημιτόνων στο AEC δίνει \dfrac{AE}{b}=\dfrac{\eta \mu 30^{0}}{\eta \mu 50^{0}}=\dfrac{1}{2\eta \mu 50^{0}} , ενώ \eta \mu 50^{0}=\eta \mu \dfrac{A}{2}=\dfrac{a/2}{b} άρα \dfrac{AE}{b}=\dfrac{b}{a}\Rightarrow \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{DC}{BC} .

Έπεται από το αντίστροφο του Θαλή ότι \boxed{DE\parallel AC}.Τότε BE=ED και \widehat{DEC}=30^{0}=\widehat{DAE}

οπότε η DE είναι εφαπτομένη του κύκλου των A,E,K. Έτσι έχουμε BE^{2}=DE^{2}=DK\cdot DA=DI\cdot AC. Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες