Ισότητα και λόγος

KARKAR · #1

: Ισότητα και λόγος.png (6.33 KiB) Προβλήθηκε 454 φορές

Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Σημείο

βρίσκεται "αριστερά" της

και είναι τέτοιο ώστε : $AS \parallel BC$ και BS=BC

. Ονομάζω

την τομή των BS,AC

και

τη διχοτόμο της $\widehat{ASB}$ . α) Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{AS}{AB}$ ... β) Δείξτε ότι : AT=AD

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 08, 2019 11:15 am
Ισότητα και λόγος.pngΤο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Σημείο βρίσκεται "αριστερά" της

και είναι τέτοιο ώστε : $AS \parallel BC$ και . Ονομάζω την τομή των

και τη διχοτόμο της $\widehat{ASB}$ . α) Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{AS}{AB}$ ... β) Δείξτε ότι : .

: Ισότητα και λόγος.png (19.89 KiB) Προβλήθηκε 411 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Altrian · #3

α) $SB^{2}=SP^{2}+PB^{2}\Rightarrow 2a^{2}=\dfrac{b^{2}}{2}+\dfrac{b^{2}}{2}+a^{2}+ba\sqrt{2}\Rightarrow \dfrac{b^{2}}{a^{2}}+\dfrac{b\sqrt{2}}{a}-1=0$

Αρα $\dfrac{b}{a}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ .

β) Τα τρίγωνα STA, CTB

είναι όμοια, άρα:

$\dfrac{AT}{TC}=\dfrac{SA}{CB}= \dfrac{SA}{SB}=\dfrac{AD}{DB}\Rightarrow \dfrac{AT}{AT+TC}=\dfrac{AD}{AD+DB}\Rightarrow \dfrac{AT}{a}=\dfrac{AD}{a}\Rightarrow AT=AD$

#4

: Ισότητα και λόγος_7_11_2019_a.png (36.23 KiB) Προβλήθηκε 373 φορές

α) Έστω

το συμμετρικό του

ως προς το

.Με διάμετρο BB'

γράψω το ημικύκλιο

(A,R)

που περιέχει το

. Ας είναι

το σημείο τομής της ημιευθείας

μ αυτό .

$\widehat {SCB} = \widehat {BSC} \Leftrightarrow 45^\circ + \widehat {{\phi _1}} = 45^\circ + \widehat {{\phi _2}} \Leftrightarrow \boxed{\widehat {{\phi _1}} = \widehat {{\phi _2}}}$ .

Άμεση συνέπεια : $\vartriangle SCF = \vartriangle SCA$ και άρα το $\vartriangle ACF$ είναι ισόπλευρο .

Έτσι έχω $\widehat {{\phi _1}} = \widehat {{\phi _2}} = \widehat {{\theta _{}}} = 30^\circ \,\,$ και $\vartriangle CFB \approx \vartriangle SAC \Rightarrow \dfrac{{CF}}{{SA}} = \dfrac{{FB}}{{AC}} \Rightarrow \dfrac{R}{d} = \dfrac{{d + R\sqrt 2 }}{R}$

Αν $d = Rx\,\,,x > 0$ έχω την εξίσωση : ${x^2} + \sqrt 2 x - 1 = 0 \Rightarrow \boxed{x = \frac{{ - \sqrt 2 + \sqrt 6 }}{2}}$
β)

: Ισότητα και λόγος_7_11_2019_b.png (18.54 KiB) Προβλήθηκε 373 φορές

Αφού

και η

διχοτόμος του $\vartriangle SAB$ θα ισχύουν:

$\boxed{\frac{{ST}}{{TB}} = \frac{{SA}}{{BC}} = \frac{{SA}}{{SB}} = \frac{{DA}}{{DB}} \Rightarrow SA//TD \Rightarrow \widehat {{\xi _{}}} = 45^\circ \Rightarrow AT = AD}$

#5

Έστω

το μέσο του SC.

Είναι $BS=BC=AB\sqrt 2.$ Από $\displaystyle AS||BC \Rightarrow S\widehat AB = 135^\circ .$

: Ισότητα και λόγος.png (19.91 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές

α) Νόμος συνημιτόνων στο SAB:

$\displaystyle 2A{B^2} = A{B^2} + A{S^2} + AB \cdot AS\sqrt 2 \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{AS}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}}$

β) Από το προηγούμενο είναι $\displaystyle A\widehat BS = 15^\circ = A\widehat SD.$ Επίσης είναι DS||BM

(οι διχοτόμοι των εντός εναλλάξ

γωνιών είναι παράλληλες). Άρα το ASCD

είναι εγγράψιμο, οπότε $A\widehat CD = 15^\circ.$ Από την προφανή τώρα ισότητα

των τριγώνων ACD, ABT,

προκύπτει το ζητούμενο $\boxed{AD=AT}$

Ισότητα και λόγος

Ισότητα και λόγος

Re: Ισότητα και λόγος

Re: Ισότητα και λόγος

Re: Ισότητα και λόγος

Re: Ισότητα και λόγος

Μέλη σε σύνδεση