Γωνία σε παραλληλόγραμμο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Γωνία σε παραλληλόγραμμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Νοέμ 09, 2019 11:45 pm

Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD με AD=BD. Θεωρούμε σημείο E στη διαγώνιο BD τέτοιο ώστε AE=DE. Η επέκταση της AE τέμνει την πλευρά BC στο σημείο F. Η DF είναι η διχοτόμος της γωνίας C\widehat{D}E. Να βρεθεί η γωνία A\widehat{B}D.

Φιλικά,

Αχιλλέας



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6797
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γωνία σε παραλληλόγραμμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Νοέμ 10, 2019 2:44 am

achilleas έγραψε:
Σάβ Νοέμ 09, 2019 11:45 pm
Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD με AD=BD. Θεωρούμε σημείο E στη διαγώνιο BD τέτοιο ώστε AE=DE. Η επέκταση της AE τέμνει την πλευρά BC στο σημείο F. Η DF είναι η διχοτόμος της γωνίας C\widehat{D}E. Να βρεθεί η γωνία A\widehat{B}D.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Γωνία σε παραλληλόγραμμο.png
Γωνία σε παραλληλόγραμμο.png (13.29 KiB) Προβλήθηκε 143 φορές
Αφού EA = ED, η μεσοκάθετος στο AD θα είναι μεσοκάθετος και στο BF.

Δηλαδή το τετράπλευρο ADFB είναι ισοσκελές τραπέζιο .

Από δε την υπόθεση έχω : DA = DB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD = BC.

Προφανώς : \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_{}}}\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {{x_{}}} = \widehat {{y_{}}} = \widehat {{z_{}}}. Από τα ισοσκελή τρίγωνα

DAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BCD έχω:


\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{x_{}}} + \widehat {{y_{}}} + \widehat {{a_{}}} + \widehat {{y_{}}} + \widehat {{a_{}}} = 180^\circ  \hfill \\ 
  \widehat {{z_{}}} + 4\widehat {{a_{}}} = 180^\circ  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {3{x_{}}} + \widehat {2{a_{}}} = 180^\circ  \hfill \\ 
  \widehat {{x_{}}} + 4\widehat {{a_{}}} = 180^\circ  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \widehat {{x_{}}} = 36^\circ

Άρα η ζητούμενη είναι: 72°


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Γωνία σε παραλληλόγραμμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τετ Νοέμ 13, 2019 9:04 pm

Λύση (Αλέξανδρος Ντακούλας, μαθητής Α' Λυκείου)

Έχουμε AD=DB, άρα D\widehat{A}B=A\widehat{B}D=x και έστω A\widehat{D}B=y. Αφού το ABCD είναι παραλληλόγραμμο, οι απένταντι γωνίες είναι ίσες, οπότε έχουμε D\widehat{C}B=D\widehat{A}B=x. Επειδή AB//DC, είναι B\widehat{D}C=A\widehat{B}D=x=D\widehat{C}B.

Άρα το τρίγωνο DBC είναι ισοσκελές^{(*)} και αφού από το ABD είναι 2x+y=180^\circ, είναι D\widehat{B}C=y.

Αφού AE=ED, το τρίγωνο AED είναι ισοσκελές με E\widehat{D}A=E\widehat{A}D=y. Επίσης, έχουμε A\widehat{E}D=B\widehat{E}F, ως κατακορυφήν. Τα τρίγωνα AED και BEF έχουν E\widehat{A}D=E\widehat{B}F και A\widehat{E}D=B\widehat{E}F, άρα B\widehat{F}E=E\widehat{D}A=y^{(**)} . Άρα το τρίγωνο BEF είναι ισοσκελές με EB=EF.


Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ABE και D EF. Αυτά έχουν

\displaystyle  
\begin{aligned} 
AE&=ED \\ 
EB&=EF\\ 
A\widehat{E}B&=D \widehat{E}F\\ 
\end{aligned}

Συνεπώς, από το κριτήριο Π-Γ-Π, τα τρίγωνα ABE και D EF είναι ίσα. Έτσι B\widehat{A}E=E\widehat{D}F=x/2, αφού η DF είναι η διχοτόμος της γωνίας C\widehat{D}E. Άρα

\displaystyle  
B\widehat{A}D=B\widehat{A}E+E\widehat{A}D\iff x=\frac{x}{2}+y\iff y=\frac{x}{2}.

Από το άθροισμα των γωνιών του ABCD ^{(***)} έχουμε

\displaystyle  
 x+(x+y)+x+(x+y)=360^\circ\iff 4x+2\frac{x}{2}=360^\circ \iff 5x=360^\circ \iff x=72^\circ.

Σχόλια: (*) Αλλιώς, αφού το ABCD είναι παραλληλόγραμμο, τα τρίγωνα ADB και DBC είναι ίσα. Άρα το τρίγωνο DBC είναι ισοσκελές με D\widehat{B}C=A\widehat{D}B=y και B\widehat{D}C=D\widehat{C}B=x.

(**) Αλλιώς, αφού BF//AD με τέμνουσα την AF, είναι B\widehat{F}E=E\widehat{A}D=y=E\widehat{B}F.

(***) Αλλιώς, το ίδιο συμπέρασμα προκύπτει, για παράδειγμα, από το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ABD.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Συνημμένα
pod_3_math.png
pod_3_math.png (11.38 KiB) Προβλήθηκε 82 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης