Ομοκυκλικά σημεία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2724
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Ομοκυκλικά σημεία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Νοέμ 10, 2019 12:06 pm

Θεωρούμε σημείο P στη βάση BC ισοσκελούς τριγώνου ABC και σημεία D και E στις ίσες πλευρές του AB και AC, αντίστοιχα, τέτοια ώστε το τετράπλευρο ADPE να είναι παραλληλόγραμμο. Έστω Q το συμμετρικό σημείο του P ως προς την ευθεία DE. Να δειχθεί ότι το Q ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC.

Πηγή: Kvant.

Φιλικά,

Αχιλλέας



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1610
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Νοέμ 10, 2019 12:24 pm

achilleas έγραψε:
Κυρ Νοέμ 10, 2019 12:06 pm
Θεωρούμε σημείο P στη βάση BC ισοσκελούς τριγώνου ABC και σημεία D και E στις ίσες πλευρές του AB και AC, αντίστοιχα, τέτοια ώστε το τετράπλευρο ADPE να είναι παραλληλόγραμμο. Έστω Q το συμμετρικό σημείο του P ως προς την ευθεία DE. Να δειχθεί ότι το Q ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC.

Πηγή: Kvant.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Όμορφη :) !

Αφού Q το συμμετρικό του P ως προς την DE, έχω QD=DP και QE=EP, και αφού ADPE παραλληλόγραμμο, είναι AD=PE=QE, και QD=DP=AE.

Πάλι από το συμμετρικό έχω \angle DQE=\angle DPE=\angle DAE, άρα το DQAE είναι εγγράψιμο.

Επίσης, είναι DP \parallel AC, PE \parallel AB από το παραλληλόγραμμο, άρα \angle DPB=\angle C=\angle B, δηλαδή DP=DB=DQ.

Άρα, με angle-chasing έχω \angle QBC=\angle QBD+\angle DBP=90^\circ-\angle QDB/2+90^\circ-\angle BDP/2=180^\circ-\angle QDP/2=\angle QDE=180^\circ-\angle QAC, άρα \angle QBC+\angle QAC=180^\circ, συνεπώς τα Q,A,C,B είναι ομοκυκλικά, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7131
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Νοέμ 10, 2019 1:24 pm

Ομοκυκλικά σημεία του Achilleas_oritzin.png
Ομοκυκλικά σημεία του Achilleas_oritzin.png (41.18 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές
Ας είναι S το σημείο τομής των AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CQ. Η ED είναι άξονας συμμετρίας του χαρταετού PDQE με συνέπεια και λόγω του παραλληλογράμμου ADPE:

α) το τετράπλευρο AQDE να είναι ισοσκελές τραπέζιο

β) Το τρίγωνο EQC ισοσκελές . Έτσι θα έχω :

\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}} και άρα το τετράπλευρο SPCE είναι εγγράψιμο με άμεση συνέπεια : \boxed{\widehat {{z_{}}} = \widehat {{w_{}}}\,\,(1)}

Αλλά , \widehat {{x_{}}} = \widehat {{y_{}}} = \widehat {{z_{}}} οπότε : \boxed{\widehat {{x_{}}} = \widehat {{w_{}}}} με αποτέλεσμα τα σημεία : A,Q,B,C να ανήκουν στο ίδιο κύκλο.


Ορέστη καλημέρα . Δεν σε διάβασα αλλά τώρα θα σε διαβάσω , αν είναι ίδια με τα δικά σου, τα αφήνω για τον κόπο και το σχήμα.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9191
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 10, 2019 2:01 pm

achilleas έγραψε:
Κυρ Νοέμ 10, 2019 12:06 pm
Θεωρούμε σημείο P στη βάση BC ισοσκελούς τριγώνου ABC και σημεία D και E στις ίσες πλευρές του AB και AC, αντίστοιχα, τέτοια ώστε το τετράπλευρο ADPE να είναι παραλληλόγραμμο. Έστω Q το συμμετρικό σημείο του P ως προς την ευθεία DE. Να δειχθεί ότι το Q ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC.

Πηγή: Kvant.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Ορίζω το Q διαφορετικά. Έστω AS η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του ABC. Η SP τέμνει

την DE στο N και επανατέμνει τον κύκλο στο Q. Θα δείξω ότι η DE είναι μεσοκάθετος του PQ.
Ομοκυκλικά σημεία.A.png
Ομοκυκλικά σημεία.A.png (18.33 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές
\displaystyle S\widehat QA = 90^\circ  \Rightarrow QM = AM = MP και \displaystyle B\widehat QS = \frac{{\widehat A}}{2} = \frac{{B\widehat DP}}{2}, άρα το D είναι περίκεντρο

του QBP, οπότε το QDPM είναι χαρταετός και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες