Ενδιάμεση ορθή

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11540
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ενδιάμεση ορθή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 11, 2019 8:02 pm

Ενδιάμεση  ορθή.png
Ενδιάμεση ορθή.png (9.75 KiB) Προβλήθηκε 143 φορές
Στην προέκταση του ύψους AD του ισοσκελούς τριγώνου ABC , (AB=AC) ,

θεωρούμε σημείο S . Ονομάζουμε T την προβολή του A στην ημιευθεία SB

και M,N τα μέσα των TD , AC αντίστοιχα . Δείξτε ότι : \widehat{SMN}=90^0 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7131
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ενδιάμεση ορθή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Νοέμ 11, 2019 9:07 pm

Ας είναι : A\left( {0,a} \right)\,\,\,,\,\,B\left( { - k,0} \right)\,\,,\,\,C\left( {k.0} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S\left( {0, - s} \right) με a > 0\,,\,\,k > 0\,\,,\,s > 0.

Θα είναι έτσι : \boxed{N\left( {\frac{k}{2},\frac{a}{2}} \right)}

T\left( {u,v} \right):\,\,\,\left\{ \begin{gathered} 
  y = a + \frac{{kx}}{s} \hfill \\ 
  \frac{x}{k} + \frac{y}{s} =  - 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow T\left( {u,v} \right):\,\,\,\left\{ \begin{gathered} 
  u = \frac{{ - ks\left( {a + s} \right)}}{{{k^2} + {s^2}}} \hfill \\ 
  v = \frac{{s\left( {as - {k^2}} \right)}}{{{k^2} + {s^2}}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

\left\{ \begin{gathered} 
  \overrightarrow {NM}  = \left( {\frac{{u - k}}{2},\frac{{v - a}}{2}} \right) \hfill \\ 
  \overrightarrow {SM}  = \left( {\frac{u}{2},\frac{v}{2} + s} \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

απ’ όπου έχω :\overrightarrow {NM}  \cdot \overrightarrow {SM}  = 0 που μας εξασφαλίζει ότι τα διανύσματα αυτά είναι κάθετα


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7131
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ενδιάμεση ορθή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Νοέμ 11, 2019 10:37 pm

Ενδιάμεση ορθή.png
Ενδιάμεση ορθή.png (29.45 KiB) Προβλήθηκε 103 φορές
Το τετράπλευρο ATBD είναι εγγράψιμο άρα : \widehat {{\theta _2}} = \widehat {BAD} = \widehat {{\theta _1}} και αφού

\widehat {DST} = \widehat {CSA} τα τρίγωνα TDS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ACS είναι όμοια με λόγο ομοιότητας : \displaystyle \boxed{\lambda  = \frac{{TS}}{{AS}} = \frac{{DS}}{{CS}}}

Θα είναι όμως και \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}} γιατί οι SM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SN είναι ομόλογοι διάμεσοι των προηγουμένων όμοιων τριγώνων ,

Τώρα τα τρίγωνα TAS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MNS έχουν μια γωνία ίση (\widehat {TSA} = \widehat {MSN} )

Περιεχομένη μεταξύ αναλόγων πλευρών άρα είναι όμοια

Συνεπώς και το \vartriangle MSN είναι ορθογώνιο στο M


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης