Τετράγωνα εν δράσει

#1

: Τετράγωνα εν δράσει.png (12.21 KiB) Προβλήθηκε 518 φορές

Στο σχήμα τα A, B, C

είναι συνευθειακά και τα ABDE, BCFG

είναι τετράγωνα

α) Να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{EF}}{{AG}}$ ................... β) Να υπολογίσετε το άθροισμα $\displaystyle B\widehat AG + E\widehat FG$

γ) Να δείξετε ότι η

διέρχεται από το σημείο τομής

των

STOPJOHN · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 13, 2019 5:23 pm
Τετράγωνα εν δράσει.png
Στο σχήμα τα είναι συνευθειακά και τα είναι τετράγωνα

α) Να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{EF}}{{AG}}$ ................... β) Να υπολογίσετε το άθροισμα $\displaystyle B\widehat AG + E\widehat FG$

γ) Να δείξετε ότι η διέρχεται από το σημείο τομής των

α) Στο τρίγωνο $AGB ,AG=\sqrt{a^{2}+b^{2}},AB=a,BC=b,$

Στο τρίγωνο $EFL,EF=\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}, \dfrac{EF}{AG}=\sqrt{2}$

β) $\hat{EFL}=\phi ,\hat{GAB}=\theta ,tan\phi =\dfrac{a-b}{a+b},tan\theta =\dfrac{b}{a}, tan(\phi +\theta ) =\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=1, \phi +\theta =45^{0}$

γ) Θα αποδείξω οτι τα σημεία A,G,S,

είναι συνευθειακά ,

Από τα όμοια τρίγωνα $EID,GIF,ID=\dfrac{a(a-b)}{a+b},(1), IG=\dfrac{b(a-b)}{a+b},(2),$

Από την ομοιότητα των τριγώνων $DIS,SFC,\dfrac{DS}{SC}=\dfrac{DI}{b}=\dfrac{a(a-b)}{b(a+b)},(3)$

Αρα $\dfrac{DG}{GB}.\dfrac{AB}{AC}.\dfrac{SC}{DS}=1$ ισχύει λόγω της (3)

Συνεπώς με το αντίστροφο θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο DBC

και τέμνουσα AGS

τα σημεία

είναι συνευθειακά

#3

Το τελευταίο ερώτημα έχει ουσιαστική γενίκευση από τον Ήρωνα τον Αλεξανδρέα με κομψότατη απόδειξη. Είχα αναφερθεί σε αυτό το σημείο στο ποστ μου εδώ, αλλά χρωστάω ακόμη την απόδειξη. Πάντως την είχα κάνει στο Διήμερο Γεωμετρίας που είχαμε οργανώσει πέρσι στο Ηράκλειο.

Altrian · #4

Φέρνουμε την $FP=\left | \right |GA$ . Τα τρίγωνα PFC,EAP

είναι ορθογώνια με κάθετες πλευρές a,b

άρα είναι ίσα και προκύπτει επίσης ότι: $\angle EPF=90$ . και EP=PF

. Επίσης επειδή $PC=\left | \right |ED\Rightarrow PF,DC$ κάθετες.

Αρα: $\bigtriangleup EPF$ ορθογώνιο ισοσκελές.

α) $\dfrac{EF}{AG}=\sqrt{2}$ .

β) $\angle BAG+\angle EFG=\phi+\theta=45$

γ) $\angle FSC=90-45=45=\angle DSE=\angle EAD\Rightarrow$ E,D,S,B,A

ομοκυκλικά.

Αλλά $\angle DES=\phi=45-\theta=\angle DAG\Rightarrow$ η προέκταση της

διέρχεται από το

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 13, 2019 5:23 pm
Τετράγωνα εν δράσει.png
Στο σχήμα τα είναι συνευθειακά και τα είναι τετράγωνα

α) Να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{EF}}{{AG}}$ ................... β) Να υπολογίσετε το άθροισμα $\displaystyle B\widehat AG + E\widehat FG$

γ) Να δείξετε ότι η διέρχεται από το σημείο τομής των

Είναι $CG \cap EF=H$ με HB=HF

κι επειδή $\angle EBF=90^0 \Rightarrow HF=HB=HE \Rightarrow HA$

μεσοκάθετος της

άρα περνά από το

και $\angle AHC=90^0$

Έτσι το

είναι ορθόκεντρο του $\triangle DAC \Rightarrow AG \bot DC$

Λόγω GF//AC

και εγγραψιμότητας των HGBA,HDCB

οι μπλε γωνίες είναι ίσες,άρα $GS \bot DC$ και A,G,S

συνευθειακά

Είναι $\angle BEF=x \Rightarrow$ $\triangle EFB \simeq \triangle AGB \Rightarrow \dfrac{EF}{AG}= \dfrac{BF}{BG}= \sqrt{2}$ και $\angle x+y= \angle HSG= \angle HDG=45^0$

: τετράγωνα εν δράσει.png (27.85 KiB) Προβλήθηκε 403 φορές

Τετράγωνα εν δράσει

Τετράγωνα εν δράσει

Re: Τετράγωνα εν δράσει

Re: Τετράγωνα εν δράσει

Re: Τετράγωνα εν δράσει

Re: Τετράγωνα εν δράσει

Μέλη σε σύνδεση