Ίσα τμήματα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2724
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Ίσα τμήματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Νοέμ 18, 2019 6:49 pm

Στις κάθετες πλευρές CA και CB ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου ABC επιλέγονται τα σημεία D και E , αντίστοιχα, έτσι ώστε CD=CE. Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία D και \textcolor{red}{C} στην ευθεία AE τέμνουν την υποτείνουσα AB στα σημεία K και L. Να δειχθεί ότι KL=LB.

Πηγή: Πανενωσιακή Μαθηματική Ολυμπιάδα.

Φιλικά,

Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Δευ Νοέμ 18, 2019 7:30 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3004
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ίσα τμήματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Νοέμ 18, 2019 7:20 pm

achilleas έγραψε:
Δευ Νοέμ 18, 2019 6:49 pm
Στις κάθετες πλευρές CA και CB ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου ABC επιλέγονται τα σημεία D και E , αντίστοιχα, έτσι ώστε CD=CE. Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία D και E στην ευθεία AE τέμνουν την υποτείνουσα AB στα σημεία K και L. Να δειχθεί ότι KL=LB.

Πηγή: Πανενωσιακή Μαθηματική Ολυμπιάδα.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Νομίζω ότι υπάρχει τυπογραφικό.
Μήπως είναι
Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία D και C στην ευθεία AE.


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2724
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ίσα τμήματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Νοέμ 18, 2019 7:29 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Νοέμ 18, 2019 7:20 pm
achilleas έγραψε:
Δευ Νοέμ 18, 2019 6:49 pm
Στις κάθετες πλευρές CA και CB ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου ABC επιλέγονται τα σημεία D και E , αντίστοιχα, έτσι ώστε CD=CE. Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία D και E στην ευθεία AE τέμνουν την υποτείνουσα AB στα σημεία K και L. Να δειχθεί ότι KL=LB.

Πηγή: Πανενωσιακή Μαθηματική Ολυμπιάδα.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Νομίζω ότι υπάρχει τυπογραφικό.
Μήπως είναι
Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία D και C στην ευθεία AE.
Ναι, από την D και C. Το διόρθωσα και στην αρχική ανάρτηση. Ευχαριστώ.


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Ίσα τμήματα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Δευ Νοέμ 18, 2019 8:10 pm

Η κάθετη από το σημείο B στην AE, τέμνει την ευθεία CA στο σημείο έστω Z και ισχύει CE = CZ\ \ \ (1) λόγω των ίσων ορθογωνίων τριγώνων \vartriangle CBZ,\ \vartriangle CAE.

Έτσι, από (1) και CE = CD\Rightarrow CZ = CD\ \ \ ,(2)

Από (2) και DK\parallel CL\parallel ZB\Rightarrow \boxed{KL = LB} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Διάλεξα μία εύκολη, για έναν χαιρετισμό στους αγαπητούς φίλους, μετά από πολύν καιρό απουσίας από τα δρώμενα του :logo: .


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5411
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Ίσα τμήματα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Δευ Νοέμ 18, 2019 9:56 pm

Γεια σας αγαπητοί φίλοι !

Ωραία άσκηση για κάθε σχολική ηλικία και για κάθε λάτρη της γεωμετρίας !

Καλή βδομάδα !
(Αχιλλέα, λόγο ίωσης δεν ήρθα στη Λάρισα να τα πούμε !. Στον Αρχιμήδη με το καλό !)


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1809
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ίσα τμήματα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Νοέμ 18, 2019 11:33 pm

achilleas έγραψε:
Δευ Νοέμ 18, 2019 6:49 pm
Στις κάθετες πλευρές CA και CB ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου ABC επιλέγονται τα σημεία D και E , αντίστοιχα, έτσι ώστε CD=CE. Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία D και \textcolor{red}{C} στην ευθεία AE τέμνουν την υποτείνουσα AB στα σημεία K και L. Να δειχθεί ότι KL=LB.

Πηγή: Πανενωσιακή Μαθηματική Ολυμπιάδα.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Με BC \cap KD=F , D είναι ορθόκεντρο του \triangle EFA \Rightarrow ED \bot AF κι

επειδή ED//AB \Rightarrow AF \bot AB \Rightarrow  \triangle FAB ορθογώνιο-ισοσκελές

Άρα C μέσον της BF \Rightarrow KL=LB
Ίσα τμήματα.png
Ίσα τμήματα.png (10.78 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1880
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ίσα τμήματα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Νοέμ 19, 2019 1:06 am

achilleas έγραψε:
Δευ Νοέμ 18, 2019 6:49 pm
Στις κάθετες πλευρές CA και CB ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου ABC επιλέγονται τα σημεία D και E , αντίστοιχα, έτσι ώστε CD=CE. Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία D και \textcolor{red}{C} στην ευθεία AE τέμνουν την υποτείνουσα AB στα σημεία K και L. Να δειχθεί ότι KL=LB.

Πηγή: Πανενωσιακή Μαθηματική Ολυμπιάδα.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Εστω OD//BC,AC//FD,DA=EB=t,AC=BC=b, Το τετράπλευρο LKOD είναι παραλληλόγραμμο άρα LK=OD,, Προφανώς τα τρίγωνα EMC,FCD είναι ίσα και τα τρίγωνα CFD,EAC είναι όμοια ,άρα

\dfrac{BL}{EO}=\dfrac{b}{b-t},(*),

   \dfrac{EM}{MC}=\dfrac{OD}{EO},(1), \dfrac{AC}{EC}=\dfrac{b}{b-t},(2), 

(1),(2)\Rightarrow \dfrac{OD}{EO}=\dfrac{b}{b-t}\Leftrightarrow \dfrac{EO}{OD}=\dfrac{EO}{LK}=\dfrac{b-t}{b},(**)

, (*),(**)\Rightarrow BL=LK
Συνημμένα
Ισα τμήματα.png
Ισα τμήματα.png (56.98 KiB) Προβλήθηκε 233 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5411
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Ίσα τμήματα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Νοέμ 19, 2019 7:29 am

achilleas έγραψε:
Δευ Νοέμ 18, 2019 6:49 pm
Στις κάθετες πλευρές CA και CB ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου ABC επιλέγονται τα σημεία D και E , αντίστοιχα, έτσι ώστε CD=CE. Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία D και \textcolor{red}{C} στην ευθεία AE τέμνουν την υποτείνουσα AB στα σημεία K και L. Να δειχθεί ότι KL=LB.

Πηγή: Πανενωσιακή Μαθηματική Ολυμπιάδα.

Φιλικά, Αχιλλέας

Αν η ευθεία KD τέμνει την ευθεία CB στο Z, τότε οι γωνίες \angle CAE,\angle CBD,\angle CZD είναι ίσες.

Επομένως το C είναι μέσο της BZ στο ισοσκελές τρίγωνο DBZ και έτσι το L θα είναι μέσο του KB (από το τρίγωνο KBZ).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9188
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσα τμήματα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 19, 2019 8:22 am

achilleas έγραψε:
Δευ Νοέμ 18, 2019 6:49 pm
Στις κάθετες πλευρές CA και CB ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου ABC επιλέγονται τα σημεία D και E , αντίστοιχα, έτσι ώστε CD=CE. Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία D και \textcolor{red}{C} στην ευθεία AE τέμνουν την υποτείνουσα AB στα σημεία K και L. Να δειχθεί ότι KL=LB.

Πηγή: Πανενωσιακή Μαθηματική Ολυμπιάδα.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Χαιρετώ την παρέα!
Ίσα τμηματα.ΑΧ.png
Ίσα τμηματα.ΑΧ.png (9.98 KiB) Προβλήθηκε 208 φορές
CN είναι το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου CAE άρα: \boxed{\frac{{AN}}{{NE}} = \frac{{A{C^2}}}{{C{E^2}}}} (1) και επειδή

DK||CL, CA=CB, CD=CE, θα είναι \boxed{\frac{{CE}}{{CB}} = \frac{{CE}}{{CA}} = \frac{{DC}}{{CA}} = \frac{{KL}}{{LA}}} (2)

Θ. Μενελάου στο EAB με διατέμνουσα \displaystyle \overline {CNL} :

\displaystyle \frac{{AN}}{{NE}} \cdot \frac{{CE}}{{CB}} \cdot \frac{{BL}}{{LA}} = 1\mathop  \Rightarrow \limits^{(1),(2)} \frac{{A{C^2}}}{{C{E^2}}} \cdot \frac{{CE}}{{CA}} \cdot \frac{{BL}}{{LA}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{BL}}{{LA}} = \frac{{CE}}{{CA}}\mathop  = \limits^{(2)} \frac{{KL}}{{LA}} \Rightarrow \boxed{BL=KL}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1256
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ίσα τμήματα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Νοέμ 19, 2019 3:27 pm

Καλησπέρα σε όλη την παρέα!
Ίσα τμήματα.PNG
Ίσα τμήματα.PNG (10.71 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές
Φέρω KZ \perp AC που τέμνει την CL στο O. Θα δείξουμε πρώτα ότι τα A,D είναι συζυγή αρμονικά των C,Z

και στη συνέχεια ότι το KOBC είναι παραλληλόγραμμο που σημαίνει ότι οι BK,OC διχοτομούνται.

Θα επανέλθω για την απόδειξη των ανωτέρω. Φιλικά , Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7130
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσα τμήματα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 19, 2019 3:45 pm

Ισα τμήμτα Achilleas.png
Ισα τμήμτα Achilleas.png (17.35 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές

Το τετράπλευρο ABED είναι ισοσκελές τραπέζιο κι έστω O το σημείο τομής των ίσων διαγωνίων του .

Ας είναι ακόμα M το σημείο τομής των CL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DB.

Επειδή : \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}}( οξείες με πλευρές κάθετες ) και \widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\omega _{}}}

( το ισοσκελές τραπέζιο ABED είναι εγγράψιμο σε κύκλο)

θα είναι \widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\theta _{}}} \Leftrightarrow MC = MB, κι αφού το τρίγωνο CDB είναι ορθογώνιο στο C

η CM είναι η διάμεσος προς την υποτείνουσά του, δηλαδή στο \vartriangle DKB το M μέσο του BD

Αλλά η ML είναι παράλληλη στην CK( ως κάθετες στην AE)

Αναγκαστικά λοιπόν και το L μέσο του BK


Μάλλον είναι η λύση του Μπάμπη , αλλά δεν την είχα δεί ( όπως και καμιά πριν ανεβάσω αυτή),

παρασύρθηκα που δεν έβλεπα πουθενά σε σχήματα τις διαγώνιες του ισοσκελούς τραπεζίου


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1256
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ίσα τμήματα

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Νοέμ 20, 2019 2:19 am

Χαιρετώ και πάλι. Επανέρχομαι για την απόδειξη που υποσχέθηκα.
'Ισα τμήματα ΙΙ.PNG
'Ισα τμήματα ΙΙ.PNG (11.67 KiB) Προβλήθηκε 128 φορές
Είναι OKZ \parallel BC (ως κάθετες στην AC) , θα δείξουμε ότι OK=BC.

Τα τετράπλευρα MECD και MKAZ είναι (λόγω των ορθών γωνιών) εγγράψιμα με διαμέτρους τις ED και AK

έτσι έχουμε \widehat{M_{1}}={\widehat{M_{2}}}=45^{0} και \widehat{M_{4}}=\widehat{AKZ}=45^{0} άρα και \widehat{M_{3}}=45^{0} .

Έπεται ότι οι MD,MA είναι (εσωτερική κι' εξωτερική) διχοτόμοι στο τρίγωνο CMZ οπότε \dfrac{DZ}{DC}=\dfrac{MZ}{MC}=\dfrac{AZ}{AC}

Είναι DK \parallel OC συνεπώς \dfrac{KZ}{KO}=\dfrac{DZ}{DC}=\dfrac{AZ}{AC}=\dfrac{KZ}{BC} άρα OK=BC ενώ και OK \parallel BC

δηλ. το KOBC είναι παραλληλόγραμμο με συνέπειες LO=LC και \boxed{LK=LB}. Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7130
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσα τμήματα

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Νοέμ 20, 2019 12:18 pm

achilleas έγραψε:
Δευ Νοέμ 18, 2019 6:49 pm
Στις κάθετες πλευρές CA και CB ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου ABC επιλέγονται τα σημεία D και E , αντίστοιχα, έτσι ώστε CD=CE. Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία D και \textcolor{red}{C} στην ευθεία AE τέμνουν την υποτείνουσα AB στα σημεία K και L. Να δειχθεί ότι KL=LB.

Πηγή: Πανενωσιακή Μαθηματική Ολυμπιάδα.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Ισα τμήμτα Achilleas_new_3.png
Ισα τμήμτα Achilleas_new_3.png (19.39 KiB) Προβλήθηκε 99 φορές
Ας είναι S\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,P τα σημεία τομής των DK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CL με την AE και T το σημείο τομής των CL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE.

Θέτω: AK = z\,\,,\,\,KL = DT = x\,\,,\,\,LB = y\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TE = w. Προφανώς αρκεί να δείξω ότι : \boxed{x = y}

Από την ομοιότητα των τριγώνων PAL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PET, από το θ. κεντρικής δέσμης \left( {CA,CL,CB} \right) , και το θ προβολών των καθέτων πλευρών στην υποτείνουσα έχω

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{AL}}{{TE}} = \frac{{AP}}{{PE}} = \frac{{C{A^2}}}{{C{E^2}}} = \frac{{C{B^2}}}{{C{E^2}}} = \frac{{L{B^2}}}{{T{E^2}}} \hfill \\ 
  \frac{{AL}}{{LB}} = \frac{{DT}}{{TE}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{x + z}}{w} = \frac{{{y^2}}}{{{w^2}}} \hfill \\ 
  \frac{{x + z}}{y} = \frac{x}{w} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{x + z}}{y} = \frac{y}{w} \hfill \\ 
  \frac{{x + z}}{y} = \frac{x}{w} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{x = y}

Έλαβα υπ όψη ακόμα ότι τα τρίγωνα: CLB και CTE είναι όμοια .

Υπάρχει και λύση με αναλυτική γεωμετρία .



Θεωρώ καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το μέσο O του AB, οριζόντιο άξονα την AB και μοναδιαίο διάνυσμα , \boxed{\overrightarrow i  = \overrightarrow {OB} }

Επειδή η ευθεία BC:\,\,x + y = 1 , αν E\left( {a,b} \right)\,\,\,,a \in \left( {0,1} \right) θα είναι b = 1 - a δηλαδή:

D\left( { - a,1 - a} \right)\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,E\left( {a,1 - a} \right) . Το διάνυσμα \overrightarrow {AE}  = \left( {a + 1,1 - a} \right) άρα οι ευθείες
ισα τμήματα με  αναλυτική  γεωμετρία.png
ισα τμήματα με αναλυτική γεωμετρία.png (17.98 KiB) Προβλήθηκε 85 φορές
DK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,CL έχουν συντελεστές διεύθυνσης : \boxed{\lambda  = \frac{{a + 1}}{{a - 1}}} και εξισώσεις:

\left\{ \begin{gathered} 
  y - \left( {1 - a} \right) = \frac{{a + 1}}{{a - 1}}\left( {x + a} \right) \hfill \\ 
  y - 1 = \frac{{a + 1}}{{a - 1}}x \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Για y = 0 προκύπτουν :\left\{ \begin{gathered} 
  {x_K} = \frac{{1 - 3a}}{{a + 1}} \hfill \\ 
  {x_L} = \frac{{1 - a}}{{a + 1}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. .

Επειδή : {x_K} + {x_B} = 2{x_L} το L είναι το μέσο του KB.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες