Συνευθειακά σημεία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2724
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Συνευθειακά σημεία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τετ Νοέμ 27, 2019 11:52 am

Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ABC (AB=AC) και το μέσο M του ύψους του CH. Η παράλληλη ευθεία από το A προς την BC τέμνει την κάθετη ευθεία στην πλευρά AC στο C στο σημείο P. Να δειχθεί ότι τα σημεία B, M και P είναι συνευθειακά.

Πηγή: Kvant.

Φιλικά,

Αχιλλέας



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 732
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Συνευθειακά σημεία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Νοέμ 27, 2019 3:44 pm

achilleas έγραψε:
Τετ Νοέμ 27, 2019 11:52 am
Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ABC (AB=AC) και το μέσο M του ύψους του CH. Η παράλληλη ευθεία από το A προς την BC τέμνει την κάθετη ευθεία στην πλευρά AC στο C στο σημείο P. Να δειχθεί ότι τα σημεία B, M και P είναι συνευθειακά.

Πηγή: Kvant.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Καλό μεσημέρι,
169.PNG
169.PNG (16.66 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές
Έστω K το συμμετρικό του B ως προς το M.Αρκεί B,K,P συνευθειακά δηλαδή ,αρκεί από το παραλληλόγραμμο BCKH , \dfrac{HK}{AP}=\dfrac{BH}{BA}\Leftrightarrow \dfrac{BC}{AP}=\dfrac{BH}{CA} που ισχύει από τα όμοια BHC,CAP.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9204
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συνευθειακά σημεία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 27, 2019 5:02 pm

achilleas έγραψε:
Τετ Νοέμ 27, 2019 11:52 am
Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ABC (AB=AC) και το μέσο M του ύψους του CH. Η παράλληλη ευθεία από το A προς την BC τέμνει την κάθετη ευθεία στην πλευρά AC στο C στο σημείο P. Να δειχθεί ότι τα σημεία B, M και P είναι συνευθειακά.

Πηγή: Kvant.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Καλησπέρα!

Ορίζω το M ως το σημείο τομής των CH, BP και θα δείξω ότι είναι μέσο του HC. Έστω BN||CP, οπότε το NPCB είναι παραλληλόγραμμο, NP=BC και K μέσο του NC.
Συνευθειακά.Α.png
Συνευθειακά.Α.png (16.25 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές
Από τα όμοια τρίγωνα APC, BHC, \displaystyle \frac{{BC}}{{AP}} = \frac{{HB}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{NP}}{{AP}} = \frac{{HB}}{{AB}} \Rightarrow HN||PB κι επειδή K είναι μέσο του NC, το M θα είναι μέσο του HC.


Κω.Κωνσταντινίδης
Δημοσιεύσεις: 37
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm

Re: Συνευθειακά σημεία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης » Τετ Νοέμ 27, 2019 5:22 pm

Θεωρώ BP\bigcap CH\equiv M και BP\bigcap AC\equiv Q.
Τότε έχω \Delta ACP\sim \Delta BHC\Leftrightarrow \frac{BC}{AP}=\frac{BH}{AC}(1). Επισης \Delta APQ\sim \Delta BCQ άρα \frac{BC}{AP}=\frac{AQ}{QC}(2).
Από τις (1),(2) παίρνουμε \frac{BH}{AC}=\frac{AQ}{QC}=\frac{BH}{AB}(3).
Το θεώρημα Μενελάου στο \Delta ACH με διατέμνουσα τηνBMQ δίνει
\frac{BH}{AB}\frac{AQ}{QC}\frac{CM}{MH}=1 και από την (3) παίρνουμε \frac{CM}{HM}=1\Leftrightarrow CM=MH άρα Μ είναι το μέσο του CH.

Σημείωση: Είναι \angle ABC=\angle ACB=\angle CAP (αφού BC//AP) και τα \Delta BHC,\Delta ACP είναι ορθογώνια. Άρα είναι όμοια.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης