Διπλάσιο εμβαδόν

KARKAR · #1

: Διπλάσιο.png (15.42 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές

Ευθεία παράλληλη προς την πλευρά

, τριγώνου $\displaystyle ABC$ τέμνει την βάση

,

την διάμεσο

και την πλευρά

, στα σημεία S,T,P

αντίστοιχα.

Δείξτε ότι : (ATS)=2(PTM)

.

ksofsa · #2

Καλησπέρα!

Έστω

το συμμετρικό του

ως προς

.

Είναι

$(ATS)=2(PTM)\Leftrightarrow AT\cdot TS\cdot sin\angle ATS=2PT\cdot TM\cdot sin\angle PTM$

$\Leftrightarrow AT\cdot TS=2PT\cdot TM\Leftrightarrow \dfrac{AT}{TM}=\dfrac{2PT}{TS}$

Από θ. Θαλή έχω

$\dfrac{AT}{TM}=\dfrac{SC}{SM}=\dfrac{BQ}{QM}$

Άρα AB//TQ

Άρα $\dfrac{PT}{TS}=\dfrac{BQ}{SQ}=\dfrac{BQ}{2QM}=\dfrac{AT}{2TM}$

Άρα $\dfrac{AT}{TM}=\dfrac{2PT}{TS}$ , ό.έ.δ.

Γιώργος Μήτσιος · #3

Χαιρετώ!

: Διπλάσιο...PNG (11.28 KiB) Προβλήθηκε 304 φορές

Αν

το μέσον της

τότε $MN \parallel AB$ . Ακόμη $TS \parallel AC$ οπότε η

διέρχεται από το μέσον του

.

Στο τραπέζιο APME

έχουμε από Θ. Θαλή $\dfrac{PT}{TE}=\dfrac{AT}{TM}\Leftrightarrow PT\cdot TM=AT\cdot TE\Leftrightarrow \left ( PTM \right )=\left ( ATE \right )=\dfrac{\left ( TAS \right )}{2}$ .

Λίγο διαφορετικά: $\left ( PEM \right )=\left ( AEM \right )$ και αφαιρώντας το (TEM)

παίρνουμε $( PTM )\right ) =\left ( ATE \right )$ κ.λπ

Φιλικά , Γιώργος.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 27, 2019 7:24 pm
Διπλάσιο.pngΕυθεία παράλληλη προς την πλευρά , τριγώνου $\displaystyle ABC$ τέμνει την βάση ,

την διάμεσο και την πλευρά , στα σημεία αντίστοιχα.

Δείξτε ότι : .

: Διπλάσιο εμβαδόν_1.png (24.84 KiB) Προβλήθηκε 293 φορές

Προεκτείνω την

πέραν του

κατά ίσο τμήμα : $\boxed{TP = PF}$

Στο τρίγωνο AFT

η

είναι διάμεσος και AC//FT

άρα η δέσμη :

$\left( {AF,AT\backslash AP,AC} \right)$ είναι αρμονική . Όμως τώρα στο τρίγωνο ABC

με διάμεσο την

λόγω της πιο πάνω αρμονικής δέσμης θα είναι AF//BC

.

Έτσι: $\left( {AMS} \right) = \left( {FMS} \right) \Leftrightarrow X + \left( {TMS} \right) = \left( {FMT} \right) + \left( {TMS} \right) \Leftrightarrow \boxed{X = 2Y}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 27, 2019 7:24 pm
Διπλάσιο.pngΕυθεία παράλληλη προς την πλευρά , τριγώνου $\displaystyle ABC$ τέμνει την βάση ,

την διάμεσο και την πλευρά , στα σημεία αντίστοιχα.

Δείξτε ότι : .

Με

είναι $\big(PTM) = \big(TKM)$ .Ακόμη, $PS//AC \Rightarrow (ATS)=(TCS)$

Ισχύει $\dfrac{CS}{AP}= \dfrac{CB}{AB}$ και $\dfrac{AP}{KM}= \dfrac{AB}{MB}$ που με πολ/σμό δίνουν

$\dfrac{CS}{MK}= \dfrac{CB}{MB}=2 \Rightarrow \dfrac{(TCS)}{(TKM)}=2$

: Διπλάσιο εμβαδόν.png (13.02 KiB) Προβλήθηκε 248 φορές

Διπλάσιο εμβαδόν

Διπλάσιο εμβαδόν

Re: Διπλάσιο εμβαδόν

Re: Διπλάσιο εμβαδόν

Re: Διπλάσιο εμβαδόν

Re: Διπλάσιο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση