Ομοκυκλικότητα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1125
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ομοκυκλικότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Νοέμ 27, 2019 11:54 pm

Στη βάση BC και στις παράπλευρες πλευρές AB, AC ισοσκελούς τριγώνου ABC δίνονται τα σημεία P,Q και R αντίστοιχα, ώστε το τετράπλευρο PQAR να είναι παραλληλόγραμμο. Στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC δίνεται σημείο S τέτοιο, ώστε \angle ASP =90^{0}. Να αποδείξετε ότι τα σημεία A,S,Q και R είναι ομοκυκλικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 731
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ομοκυκλικότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Νοέμ 28, 2019 6:08 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Νοέμ 27, 2019 11:54 pm
Στη βάση BC και στις παράπλευρες πλευρές AB, AC ισοσκελούς τριγώνου ABC δίνονται τα σημεία P,Q και R αντίστοιχα, ώστε το τετράπλευρο PQAR να είναι παραλληλόγραμμο. Στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC δίνεται σημείο S τέτοιο, ώστε \angle ASP =90^{0}. Να αποδείξετε ότι τα σημεία A,S,Q και R είναι ομοκυκλικά.
Έστω M το κέντρο του παραλληλογράμμου PQAR.Θα είναι MP=MS=MA και AQ=PR=RC. Έχουμε \angle ASC=180^{\circ}-\angle B\Leftrightarrow 90^{\circ}+\angle PSC=180^{\circ}-\angle B\Leftrightarrow \angle PSC=\dfrac{\angle A}{2}=\dfrac{\angle PRC}{2} οπότε RS=RP=AQ και MR μεσοκάθετος του PS άρα παράλληλη στην AS.
Συνεπώς AQRS εγγράψιμο ως ισοσκελές τραπέζιο.
170.PNG
170.PNG (36.41 KiB) Προβλήθηκε 120 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7131
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ομοκυκλικότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Νοέμ 29, 2019 12:54 pm

Ομοκυκλικότητα.png
Ομοκυκλικότητα.png (37.63 KiB) Προβλήθηκε 69 φορές

Το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου AQPR , έστω M, είναι μέσο του AP.

Αφού το \vartriangle ABCείναι ισοσκελές προφανώς και το \vartriangle RPC είναι ισοσκελές . Άρα : \boxed{AQ = RC}.

Ας είναι O το περίκεντρο του \vartriangle ABC . Επειδή η AO διχοτομεί τη γωνία της κορυφής του θα προκύψει ότι :

\vartriangle OQA = \vartriangle ORC\,\,\left( {OA = OC\,\,,\,\,QA = RC,\widehat {QAO} = \widehat {OAC} = \widehat {RCO}} \right) , επομένως \boxed{OQ = OR}\,\,(1)

Ας είναι N ο νότιος πόλος , θα είναι OM// = \dfrac{{NP}}{2} \Rightarrow OM \bot AS

Δηλαδή η ευθεία OM είναι κοινή μεσοκάθετος στα ευθύγραμμα τμήματα :

QR\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS με άμεση συνέπεια το τετράπλευρο QRSA να είναι ισοσκελές τραπέζιο άρα και εγγράψιμο σε κύκλο .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες