Ομοκυκλικά και μέσο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ομοκυκλικά και μέσο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 29, 2019 3:41 pm

Ομοκυκλικά  και  μέσο.png
Ομοκυκλικά και μέσο.png (15.81 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές
Από σημείο εκτός κύκλου φέραμε τα εφαπτόμενα τμήματα SA ,SB και τυχούσα τέμνουσα SPT .

Ονομάζω A' το συμμετρικό του A , ως προς P . Η παράλληλη από το A' προς την SA , τέμνει

τα τμήματα AB,AT στα σημεία M , N αντίστοιχα .

Δείξτε ότι : α) τα σημεία T,N,P,A' είναι ομοκυκλικά ... β) Το M είναι το μέσο του A'N .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 731
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ομοκυκλικά και μέσο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Νοέμ 29, 2019 4:07 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 29, 2019 3:41 pm
Ομοκυκλικά και μέσο.pngΑπό σημείο εκτός κύκλου φέραμε τα εφαπτόμενα τμήματα SA ,SB και τυχούσα τέμνουσα SPT .

Ονομάζω A' το συμμετρικό του A , ως προς P . Η παράλληλη από το A' προς την SA , τέμνει

τα τμήματα AB,AT στα σημεία M , N αντίστοιχα .

Δείξτε ότι : α) τα σημεία T,N,P,A' είναι ομοκυκλικά ... β) Το M είναι το μέσο του A'N .
171.PNG
171.PNG (37.26 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές
α) \angle PTN=\angle PAS=\angle A'AS άρα TNPA' εγγράψιμο.
β)Η AB είναι πολική του S και SPT τέμνουσα άρα -γνωστό- (T,P/K,S)-1 (αρμονική τετράδα )όπου K\equiv AB\cap ST.
Επειδή NA' παράλληλης της AS και η δέσμη A.(S,P,K,T) είναι αρμονική το M είναι μέσον του NA' .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7129
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ομοκυκλικά και μέσο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Νοέμ 29, 2019 5:18 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 29, 2019 3:41 pm
Ομοκυκλικά και μέσο.pngΑπό σημείο εκτός κύκλου φέραμε τα εφαπτόμενα τμήματα SA ,SB και τυχούσα τέμνουσα SPT .

Ονομάζω A' το συμμετρικό του A , ως προς P . Η παράλληλη από το A' προς την SA , τέμνει

τα τμήματα AB,AT στα σημεία M , N αντίστοιχα .

Δείξτε ότι : α) τα σημεία T,N,P,A' είναι ομοκυκλικά ... β) Το M είναι το μέσο του A'N .
Ομοκυκλικά και μέσο.png
Ομοκυκλικά και μέσο.png (16.79 KiB) Προβλήθηκε 68 φορές
Επειδή η SA εφαπτομένη και η PA χορδή :

α) \left\{ \begin{gathered} 
  SA//A'N \Rightarrow \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}} \hfill \\ 
  \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{T_{}}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}}} άρα τα σημεία T,N,P,A' είναι ομοκυκλικά

β) Στο τρίγωνο ANA' η δέσμη : \left( {AN,AA'\backslash AM,AS} \right) είναι αρμονική και η AS//NA', θα είναι η AM διάμεσός του .

Τα νιάτα είναι πιο γρήγορα και δεν τα προλαβαίνεις , τ αφήνω για τον κόπο .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης