Ύψος διχοτομεί διχοτόμο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11540
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ύψος διχοτομεί διχοτόμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 05, 2019 8:44 pm

Ύψος  διχοτομεί  διχοτόμο.png
Ύψος διχοτομεί διχοτόμο.png (9.33 KiB) Προβλήθηκε 210 φορές
Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC) , το ύψος CD διέρχεται από το μέσο της διχοτόμου BE .

Βρείτε σχέση μεταξύ κάποιων από τα κύρια στοιχεία του τριγώνου , για την οποία αυτό πράγματι συμβαίνει .



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1880
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ύψος διχοτομεί διχοτόμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Δεκ 06, 2019 9:59 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 05, 2019 8:44 pm
Ύψος διχοτομεί διχοτόμο.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC) , το ύψος CD διέρχεται από το μέσο της διχοτόμου BE .

Βρείτε σχέση μεταξύ κάποιων από τα κύρια στοιχεία του τριγώνου , για την οποία αυτό πράγματι συμβαίνει .
Καλημέρα

AB=AC=b,BC=a,\hat{ABE}=\hat{EBC}=\hat{\omega },

Από το θεώρημα της διχοτόμου AE=\dfrac{b^{2}}{a+b},EC=\dfrac{ab}{a+b},(1),

Στο τρίγωνο AEB με τέμνουσα

DMC,\dfrac{BM}{ME}.\dfrac{EC}{b}.\dfrac{AD}{DB}=1 

        \Leftrightarrow \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{a+b}{b},(2)


DB=a.\dfrac{a}{2b}=\dfrac{a^{2}}{2b},AD=bcosA=b(1-\dfrac{a^{2}}{2b})=\dfrac{2b^{2}-a^{2}}{2b},


 \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{2b^{2}-a^{2}}{a^{2}},(3),


                (2),(3)\Rightarrow \dfrac{a+b}{a}=\dfrac{2b^{2}-a^{2}}{a^{2}}



                      \Leftrightarrow 2a^{2}+ab-2b^{2}=0
Συνημμένα
Υψος διχοτομει  διχοτόμο.png
Υψος διχοτομει διχοτόμο.png (37.79 KiB) Προβλήθηκε 176 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9189
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ύψος διχοτομεί διχοτόμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Δεκ 06, 2019 6:10 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 05, 2019 8:44 pm
Ύψος διχοτομεί διχοτόμο.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC) , το ύψος CD διέρχεται από το μέσο της διχοτόμου BE .

Βρείτε σχέση μεταξύ κάποιων από τα κύρια στοιχεία του τριγώνου , για την οποία αυτό πράγματι συμβαίνει .
Ύψος διχοτομεί διχοτόμο.Κ.png
Ύψος διχοτομεί διχοτόμο.Κ.png (10.27 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές
\displaystyle \frac{{BD}}{a} = \cos B = \frac{a}{{2b}} \Leftrightarrow \boxed{BD = \frac{{{a^2}}}{{2b}}} (1) και από τον τύπο της διχοτόμου:

\displaystyle B{E^2} = ab\left( {1 - \frac{{{b^2}}}{{{{(a + b)}^2}}}} \right) \Leftrightarrow \boxed{B{E^2} = \frac{{{a^2}b(a + 2b)}}{{{{(a + b)}^2}}}} (2)

\displaystyle 1 + \cos B = 2{\cos ^2}\frac{B}{2} \Leftrightarrow 1 + \frac{a}{{2b}} = 2\frac{{B{D^2}}}{{B{M^2}}} = \frac{{8B{D^2}}}{{B{E^2}}}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1),(2)} \frac{{a + 2b}}{{2b}} = \frac{{2{{\left( {a(a + b)} \right)}^2}}}{{{b^3}(a + 2b)}} \Leftrightarrow

\displaystyle {\left( {2a(a + b)} \right)^2} = {\left( {b(a + 2b)} \right)^2} \Leftrightarrow 2{a^2} + ab - 2{b^2} = 0 \Leftrightarrow \boxed{\frac{a}{b} = \frac{{\sqrt {17}  - 1}}{4}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11540
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ύψος διχοτομεί διχοτόμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 06, 2019 7:21 pm

ΟΚ ! Συνήθως όταν σχεδιάζω ένα ισοσκελές τρίγωνο πρώτα ορίζω την βάση a ,

οπότε : b=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}a :lol: .
Δίνω και μια "επιδεικτική " απάντηση : cos\hat{B}=\dfrac{\sqrt{17}-1}{8}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7131
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ύψος διχοτομεί διχοτόμο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Δεκ 07, 2019 1:21 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 05, 2019 8:44 pm
Ύψος διχοτομεί διχοτόμο.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC) , το ύψος CD διέρχεται από το μέσο της διχοτόμου BE .

Βρείτε σχέση μεταξύ κάποιων από τα κύρια στοιχεία του τριγώνου , για την οποία αυτό πράγματι συμβαίνει .
.Φέρνω το ύψος, AO, του ισοσκελούς \vartriangle ABC και παράλληλη από το E στη DC που τέμνει την AB στο F.

Θέτω BD = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AF = y \Rightarrow DF = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{2x + y = b}\,\,\,(1)
υψος απο μέσο διχοτόμου_1.png
υψος απο μέσο διχοτόμου_1.png (16.88 KiB) Προβλήθηκε 84 φορές
Από την ομοιότητα των τριγώνων OBA\,,\,\,DBC και το Θ. διχοτόμων στο \vartriangle ABC έχω ταυτόχρονα:

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{OB}}{{BD}} = \frac{{AB}}{{BC}} \hfill \\ 
  \frac{{AF}}{{FD}} = \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{BC}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{a}{{2x}} = \frac{b}{a} \hfill \\ 
  \frac{y}{x} = \frac{b}{a} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \left\{ \begin{gathered} 
  x = \frac{{{a^2}}}{{2b}} \hfill \\ 
  \frac{{b - 2x}}{x} = \frac{b}{a} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = \frac{{{a^2}}}{{2b}} \hfill \\ 
  \frac{b}{x} = \frac{b}{a} + 2 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχω \boxed{2{b^2} = 2{a^2} + ab}\,\,\,(2)

Αν τώρα: b = ax\,\,\,,x > 0 η πιο πάνω γίνεται : 2{x^2} - x - 2 = 0 \Rightarrow \boxed{x = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{4}}

Ένα ερώτημα : Δείξετε ότι MC = MB\sqrt 2


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9189
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ύψος διχοτομεί διχοτόμο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 07, 2019 2:06 pm

Doloros έγραψε:
Σάβ Δεκ 07, 2019 1:21 pm

Ένα ερώτημα : Δείξετε ότι MC = MB\sqrt 2
Νόμος ημιτόνου στο BMC:

\displaystyle \frac{{M{C^2}}}{{M{B^2}}} = \dfrac{{{{\sin }^2}\dfrac{B}{2}}}{{{{\cos }^2}B}} = \frac{{1 - \cos B}}{{2{{\cos }^2}B}} = \dfrac{{1 - \dfrac{{\sqrt {17}  - 1}}{8}}}{{2\dfrac{{18 - 2\sqrt {17} }}{{64}}}} = \dfrac{{2(9 - \sqrt {17} )}}{{9 - \sqrt {17} }} = 2 \Leftrightarrow \boxed{\frac{MC}{MB}=\sqrt 2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες