Κύκλος σε τετράγωνο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8795
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κύκλος σε τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 07, 2019 12:43 pm

Κύκλος σε τετράγωνο.png
Κύκλος σε τετράγωνο.png (13.21 KiB) Προβλήθηκε 160 φορές
Σε τετράγωνο ABCD πλευράς a γράφουμε εντός αυτού το ημικύκλιο διαμέτρου AB και το τόξο \overset\frown{AC} του κύκλου (D, a).

α) Να κατασκευάσετε κύκλο (K) που να εφάπτεται του ημικυκλίου, της πλευράς AB και του τόξου \overset\frown{AC}.

β) Αν a=25 να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου (K).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11209
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κύκλος σε τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 07, 2019 1:22 pm

Ακτίνα  Βισβίκη.png
Ακτίνα Βισβίκη.png (14.72 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές
α) Το ημικύκλιο διαμέτρου AT=\dfrac{4a}{5} , τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο S .

Η DS και η κάθετη στο T , τέμνονται στο K ... β) r=4

Εξήγηση της κατασκευής :

Στο ορθογώνιο τραπέζιο ADKT , επειδή AD+KT=DK =a+r ,

είναι \widehat{AST}=90^0 ( άσκηση και του σχολικού ) . Επίσης είναι : r=\dfrac{4a}{25} ( βλέπε παρακάτω ) ,

δηλαδή : AT^2=4ar =  \dfrac{16a^2}{25} και τελικά : AT=\dfrac{4a}{5} , εξ' ου και το κόκκινο ημικύκλιο .
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Κυρ Δεκ 08, 2019 8:06 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11209
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κύκλος σε τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 07, 2019 7:44 pm

Ακτίνα  σε τετράγωνο.png
Ακτίνα σε τετράγωνο.png (21.3 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές
Οι υπολογισμοί : AT^2=QK^2=(a+r)^2-(a-r)^2=4ar .

MT=\sqrt{(\dfrac{a}{2}-r)^2-r^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4}-ar} . Οπότε : AT=AM+MT=\dfrac{a}{2}+\sqrt{\dfrac{a^2}{4}-ar}

Τετραγωνίζοντας και απλοποιώντας καταλήγουμε στην εξίσωση : \sqrt{\dfrac{a^2}{4}-ar}=5r-\dfrac{a}{2} ,

η οποία δίνει : r=\dfrac{4a}{25} . Το K είναι η τομή των κύκλων : (D , a+r) και : (M, \dfrac{a}{2}-r) .
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Κυρ Δεκ 08, 2019 6:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6955
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κύκλος σε τετράγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Δεκ 08, 2019 12:08 pm

Μια υπολογιστική κατασκευή

Θεωρώ λυμένο το πρόβλημα κι έστω E το σημείο επαφής του κύκλου (K,r) με την AB.
Φέρνω την εφαπτομένη , PH, του κύκλου (K,r) που είναι κάθετη στην AB.

Αυτή τέμνει την AB στο H( H,B εκατέρωθεν του E) και το ημικύκλιο στο P.

Είναι ως γνωστό : \boxed{AP = AE} και το \boxed{AE = 2\sqrt {ar} }

( Κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα των κύκλων (A,a)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(K,r))

Θέτω AP = x\,\,,AH = y και θα ισχύει :

κύκλος σε τετράγωνο_4.png
κύκλος σε τετράγωνο_4.png (27.1 KiB) Προβλήθηκε 60 φορές
A{P^2} = AH \cdot AB \Rightarrow {x^2} = ay \Rightarrow {\left( {2\sqrt {ar} } \right)^2} = \left( {2\sqrt {ar}  - r} \right)a.

Με απλές πράξεις έχω : \boxed{r = \frac{{4a}}{{25}}} . Οπότε : \boxed{AE = \frac{{4a}}{5}} και η κατασκευή απλή .

Προφανώς αν \boxed{a = 25 \Rightarrow r = 4}

Υπάρχει κατασκευή χωρίς κανένα υπολογισμό ( Εν ευθέτω χρόνο θα την αναρτήσω)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης