Μη κυρτό πεντάγωνο

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλή Κυριακή σε όλους.

: Μη κυρτό πεντάγωνο.PNG (8.4 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές

Στο τρίγωνο ABC

είναι $\widehat{A}=90^{0}$ και AB>AC

. Η διχοτόμος της $B\widehat{A}C$ τέμνει την

στο

και τον περίκυκλο του ABC

στο

.
Έστω

το μέσον του

. Φέρω $PA \perp AM$ με PA=AN

και $ET \perp AM$ με $T \in PN$ .

Θεωρούμε το μη κυρτό πεντάγωνο PACET

. Αν είναι $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( PACET \right )}=3-\sqrt{3}$ τότε:

Ι) Να βρεθούν οι οξείες γωνίες του $\triangle ABC$ και ΙΙ) Να εξεταστεί αν τα σημεία A,C,T

είναι συνευθειακά.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Σάβ Δεκ 07, 2019 11:50 pm Καλή Κυριακή σε όλους.
Μη κυρτό πεντάγωνο.PNG
Στο τρίγωνο είναι $\widehat{A}=90^{0}$ και . Η διχοτόμος της $B\widehat{A}C$ τέμνει την στο και τον περίκυκλο του στο .
Έστω το μέσον του . Φέρω $PA \perp AM$ με και $ET \perp AM$ με $T \in PN$ .

Θεωρούμε το μη κυρτό πεντάγωνο . Αν είναι $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( PACET \right )}=3-\sqrt{3}$ τότε:

Ι) Να βρεθούν οι οξείες γωνίες του $\triangle ABC$ και ΙΙ) Να εξεταστεί αν τα σημεία είναι συνευθειακά.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων, Γιώργος.

Καλό μεσημέρι!

Έστω ET=EN=NM=x.

Από τον τύπο διχοτόμου $\displaystyle A{E^2} = bc\left( {1 - \frac{{{a^2}}}{{{{(b + c)}^2}}}} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{{a^2} = {b^2} + {c^2}}$

$\boxed{AE = \frac{{bc\sqrt 2 }}{{b + c}}}$ Επίσης, $\displaystyle AE \cdot 2x = CE \cdot EB = \frac{{{a^2}bc}}{{{{(b + c)}^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{({b^2} + {c^2})\sqrt 2 }}{{4(b + c)}}}$

: Μη κυρτό πεντάγωνο.png (23.01 KiB) Προβλήθηκε 443 φορές

I) $\displaystyle \frac{{(CAE)}}{{(ABC)}} = \frac{b}{{b + c}}.$ Αλλά, $\displaystyle (APTE) = \frac{{AE + 2x}}{2} \cdot AE = ... = \frac{{bc}}{2} = (ABC)$

$\displaystyle (PACET) = (APTE) - (CAE) = (ABC)\frac{c}{{b + c}} \Rightarrow \frac{{(ABC)}}{{(PACET)}} = \frac{b}{c} + 1 \Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{b}{c} + 1 = 3 - \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan B = \frac{b}{c} = 2 - \sqrt 3 \Rightarrow$ $\boxed{\widehat B=15^\circ, \widehat C=75^\circ}$

II) Εύκολα διαπιστώνουμε ότι AE=x,

άρα τα σημεία A,C,T

είναι συνευθειακά.

Μη κυρτό πεντάγωνο

Μη κυρτό πεντάγωνο

Re: Μη κυρτό πεντάγωνο

Μέλη σε σύνδεση