Απίστευτη σταθερότητα

#1

: Απρόσμενη σταθερότητα.png (12.7 KiB) Προβλήθηκε 628 φορές

Έστω

το περίκεντρο,

το ορθόκεντρο και BE, CF

τα ύψη τριγώνου ABC, AB>AC

με $\widehat A=60^\circ.$ Επί

των BH, HF

θεωρώ τα σημεία M, N

αντίστοιχα, ώστε BM=CN.

Να αποδείξετε ότι ο λόγος $\dfrac{HM+HN}{OH}$

είναι σταθερός, ανεξάρτητος από τα σημεία M, N

και από τα μήκη ων πλευρών του τριγώνου. Πώς θα το κάνετε αυτό;

Απλώς βρίσκοντας την τιμή του.

ksofsa · #2

Καλησπέρα!

Έχω $\angle BOC=2\angle A=120^{\circ}$

και

$\angle BHC=180^{\circ}-\angle A=120^{\circ}$

Άρα, BHOC

εγγράψιμο.

Από θ. Πτολεμαίου έχω

$R\cdot CH+a\cdot OH=R\cdot BH\Leftrightarrow a\cdot OH=R\cdot (BH-CH)\Leftrightarrow a\cdot OH=R\cdot (BM+HM-CN+HN)\Leftrightarrow \dfrac{HM+HN}{OH}=\dfrac{a}{R}=2cos30^{\circ}=\sqrt{3}$

Απίστευτη σταθερότητα

Απίστευτη σταθερότητα

Re: Απίστευτη σταθερότητα

Μέλη σε σύνδεση