Απίστευτη σταθερότητα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8979
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Απίστευτη σταθερότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Δεκ 11, 2019 7:22 pm

Απρόσμενη σταθερότητα.png
Απρόσμενη σταθερότητα.png (12.7 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές
Έστω O το περίκεντρο, H το ορθόκεντρο και BE, CF τα ύψη τριγώνου ABC, AB>AC με \widehat A=60^\circ. Επί

των BH, HF θεωρώ τα σημεία M, N αντίστοιχα, ώστε BM=CN. Να αποδείξετε ότι ο λόγος \dfrac{HM+HN}{OH}

είναι σταθερός, ανεξάρτητος από τα σημεία M, N και από τα μήκη ων πλευρών του τριγώνου. Πώς θα το κάνετε αυτό;

Απλώς βρίσκοντας την τιμή του.



Λέξεις Κλειδιά:
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 183
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Απίστευτη σταθερότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Τετ Δεκ 11, 2019 9:04 pm

Καλησπέρα!

Έχω \angle BOC=2\angle A=120^{\circ}

και

\angle BHC=180^{\circ}-\angle A=120^{\circ}

Άρα, BHOC εγγράψιμο.

Από θ. Πτολεμαίου έχω

R\cdot CH+a\cdot OH=R\cdot BH\Leftrightarrow a\cdot OH=R\cdot (BH-CH)\Leftrightarrow a\cdot OH=R\cdot (BM+HM-CN+HN)\Leftrightarrow                               

 \dfrac{HM+HN}{OH}=\dfrac{a}{R}=2cos30^{\circ}=\sqrt{3}


Κώστας Σφακιανάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες