Επίλογοι

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11552
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Επίλογοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 16, 2019 12:38 pm

Επίλογος.png
Επίλογος.png (7.67 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές
Έστω το τετράγωνο ABCD , με κέντρο O . Συνδέω το μέσο M της AD

με την κορυφή B , καθώς και με το μέσο N της OC . Η κάθετη από το O

προς την BM τέμνει την MN στο σημείο S και την BM στο σημείο T .

Δείξτε ότι : OS=OT και υπολογίστε τους λόγους : \dfrac{TM}{TB} και \dfrac{SN}{SM} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 733
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Επίλογοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Δεκ 16, 2019 8:41 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 12:38 pm
Επίλογος.pngΈστω το τετράγωνο ABCD , με κέντρο O . Συνδέω το μέσο M της AD

με την κορυφή B , καθώς και με το μέσο N της OC . Η κάθετη από το O

προς την BM τέμνει την MN στο σημείο S και την BM στο σημείο T .

Δείξτε ότι : OS=OT και υπολογίστε τους λόγους : \dfrac{TM}{TB} και \dfrac{SN}{SM} .
Καλησπέρα!

α) Η σύνθεση στροφών M_{90^{\circ}}\circ B_{90^{\circ}} (δεξιόστροφα) στέλνει το O στο C και αφού 90^{\circ} +90^{\circ} =180^{\circ} αυτή είναι συμμετρία με κέντρο N και ως γνωστών πρέπει MBN ορθογώνιο και ισοσκελές.Έτσι \Delta MTS\sim \Delta ABM και αφού \angle OMS=\angle OBM η MO είναι διάμεσος,(υπάρχει και πιο στοιχειώδης τρόπος αλλά θα χρησιμοποιήσω το MNB παρακάτω)
β) \dfrac{MT}{AB}=\dfrac{MO}{BM}\Leftrightarrow \dfrac{MT}{a}=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}\Leftrightarrow MT=\dfrac{a\sqrt{5}}{5},BT=\dfrac{3a\sqrt{5}}{10}\Rightarrow \dfrac{TM}{TB}=\dfrac{2}{3}
Έχουμε \dfrac{SN}{SM}=\dfrac{MN-MS}{MS}=\dfrac{\dfrac{MB}{\sqrt{2}}}{MT\sqrt{2}}-1=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}}{\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\sqrt{2}}=\dfrac{5}{4}-1=\dfrac{1}{4}
186.PNG
186.PNG (12.12 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1811
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Επίλογοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Δεκ 17, 2019 2:15 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 12:38 pm
Επίλογος.pngΈστω το τετράγωνο ABCD , με κέντρο O . Συνδέω το μέσο M της AD

με την κορυφή B , καθώς και με το μέσο N της OC . Η κάθετη από το O

προς την BM τέμνει την MN στο σημείο S και την BM στο σημείο T .

Δείξτε ότι : OS=OT και υπολογίστε τους λόγους : \dfrac{TM}{TB} και \dfrac{SN}{SM} .

1.Είναι, QN=NO και   MO=QB= \dfrac{a}{2}  και \angle NOM= \angle NQB=135^0

Άρα, \triangle NOM= \triangle NQB επομένως NM=NB και οι μπλε γωνίες είναι ίσες

συνεπώς \angle MNB=90^0 και SNBT εγγράψιμο.

Έτσι,  \angle MSO= \angle NBT=45^0= \angle OTQ (από το εγγράψιμο OTBQ ).Επομένως, TQ//MN \Rightarrow SO=OT

2.Είναι MB= \dfrac{a \sqrt{5} }{2} και MT . MB=MO . MQ \Rightarrow MT .  \dfrac{a \sqrt{5} }{2}= \dfrac{a^2}{2} \Rightarrow MT= \dfrac{a \sqrt{5} }{5}  \Rightarrow TB=  \dfrac{3a \sqrt{5} }{10}

Άρα \dfrac{MT}{TB}= \dfrac{2}{3}

Ακόμη, MS^2=2MT^2= \dfrac{2a^2}{5}  \Rightarrow MS= \dfrac{a \sqrt{10} }{5} και 2MN^2=MB^2= \dfrac{5a^2}{4} \Rightarrow MN= \dfrac{a \sqrt{10} }{4}

οπότε SN=  \dfrac{a \sqrt{10} }{20} και \dfrac{SN}{SM}= \dfrac{1}{4}
Επίλογοι.png
Επίλογοι.png (17.76 KiB) Προβλήθηκε 111 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7142
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Επίλογοι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Δεκ 18, 2019 4:23 am

Ας είναι Z το μέσο του BC και L,F οι προβολές των M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N\,\,στις OD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OZ αντίστοιχα. Αν θέσω AB = 4m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OT = k θα είναι:

MO// = AB \Rightarrow MO = 2m κι αφού \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} , τα ορθογώνια τρίγωνα ABM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TMO είναι όμοια , οπότε MT = 2k.

Όμοια όμως είναι και τα τρίγωνα: LBM\,\,,\,\,FMN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TBO τα δύο πρώτα γιατί έχουν λόγο καθέτων πλευρών :

\dfrac{{KB}}{{LM}} = \dfrac{{FM}}{{FN}} = 3 κι έτσι \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}} οπότε είναι και το τρίτο όμοιο με τα δύο πρώτα .
Επίλογοι_d.png
Επίλογοι_d.png (24.64 KiB) Προβλήθηκε 56 φορές
α) Αναγκαστικα τώρα έχω : \widehat {{a_2}} + \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_1}} + \widehat {{a_4}} = 45^\circ  \Rightarrow MT = TS \Rightarrow OT = OS και

β) TB = 3k \Rightarrow \boxed{\frac{{TM}}{{TB}} = \frac{2}{3}}

Το τετράπλευρο MONL είναι παραλληλόγραμμο γιατί LN// = \frac{1}{2}DC \Rightarrow LN// = MO = 2m.

Ας είναι G το σημείο τομής των διαγωνίων του . Από το Θ. Μενελάου στο \vartriangle SMT με διατέμνουσα \overline {GOB} έχω:

\dfrac{{SG}}{{GM}} \cdot \dfrac{{MB}}{{BT}} \cdot \dfrac{{TO}}{{OS}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{SG}}{{GM}} \cdot \dfrac{{5k}}{{3k}} \cdot \dfrac{k}{k} = 1 \Rightarrow \dfrac{{SG}}{{GM}} = \dfrac{3}{5} κι αν ονομάσω MG = 5u θα είναι

GS = 3u \Rightarrow DN = 2u \Rightarrow \boxed{\dfrac{{SN}}{{SM}} = \dfrac{{2u}}{{5u + 3u}} = \dfrac{1}{4}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες