Επίλογοι

KARKAR · #1

: Επίλογος.png (7.67 KiB) Προβλήθηκε 379 φορές

Έστω το τετράγωνο ABCD

, με κέντρο

. Συνδέω το μέσο

της

με την κορυφή

, καθώς και με το μέσο

της

. Η κάθετη από το

προς την

τέμνει την

στο σημείο

και την

στο σημείο

.

Δείξτε ότι : OS=OT

και υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{TM}{TB}$ και $\dfrac{SN}{SM}$ .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 16, 2019 12:38 pm
Επίλογος.pngΈστω το τετράγωνο , με κέντρο . Συνδέω το μέσο της

με την κορυφή , καθώς και με το μέσο της . Η κάθετη από το

προς την τέμνει την στο σημείο και την στο σημείο .

Δείξτε ότι : και υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{TM}{TB}$ και $\dfrac{SN}{SM}$ .

Καλησπέρα!

α) Η σύνθεση στροφών $M_{90^{\circ}}\circ B_{90^{\circ}}$ (δεξιόστροφα) στέλνει το

στο

και αφού $90^{\circ} +90^{\circ} =180^{\circ}$ αυτή είναι συμμετρία με κέντρο

και ως γνωστών πρέπει MBN

ορθογώνιο και ισοσκελές.Έτσι $\Delta MTS\sim \Delta ABM$ και αφού $\angle OMS=\angle OBM$ η

είναι διάμεσος,(υπάρχει και πιο στοιχειώδης τρόπος αλλά θα χρησιμοποιήσω το MNB

παρακάτω)
β) $\dfrac{MT}{AB}=\dfrac{MO}{BM}\Leftrightarrow \dfrac{MT}{a}=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}\Leftrightarrow MT=\dfrac{a\sqrt{5}}{5},BT=\dfrac{3a\sqrt{5}}{10}\Rightarrow \dfrac{TM}{TB}=\dfrac{2}{3}$
Έχουμε $\dfrac{SN}{SM}=\dfrac{MN-MS}{MS}=\dfrac{\dfrac{MB}{\sqrt{2}}}{MT\sqrt{2}}-1=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}}{\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\sqrt{2}}=\dfrac{5}{4}-1=\dfrac{1}{4}$

: 186.PNG (12.12 KiB) Προβλήθηκε 337 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 16, 2019 12:38 pm
Επίλογος.pngΈστω το τετράγωνο , με κέντρο . Συνδέω το μέσο της

με την κορυφή , καθώς και με το μέσο της . Η κάθετη από το

προς την τέμνει την στο σημείο και την στο σημείο .

Δείξτε ότι : και υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{TM}{TB}$ και $\dfrac{SN}{SM}$ .

1.Είναι,

και $MO=QB= \dfrac{a}{2}$ και $\angle NOM= \angle NQB=135^0$

Άρα, $\triangle NOM= \triangle NQB$ επομένως NM=NB

και οι μπλε γωνίες είναι ίσες

συνεπώς $\angle MNB=90^0$ και SNBT

εγγράψιμο.

Έτσι, $\angle MSO= \angle NBT=45^0= \angle OTQ$ (από το εγγράψιμο OTBQ

).Επομένως, $TQ//MN \Rightarrow SO=OT$

2.Είναι $MB= \dfrac{a \sqrt{5} }{2}$ και $MT . MB=MO . MQ \Rightarrow MT . \dfrac{a \sqrt{5} }{2}= \dfrac{a^2}{2} \Rightarrow MT= \dfrac{a \sqrt{5} }{5}$ $\Rightarrow TB= \dfrac{3a \sqrt{5} }{10}$

Άρα $\dfrac{MT}{TB}= \dfrac{2}{3}$

Ακόμη, $MS^2=2MT^2= \dfrac{2a^2}{5} \Rightarrow MS= \dfrac{a \sqrt{10} }{5}$ και $2MN^2=MB^2= \dfrac{5a^2}{4} \Rightarrow MN= \dfrac{a \sqrt{10} }{4}$

οπότε $SN= \dfrac{a \sqrt{10} }{20}$ και $\dfrac{SN}{SM}= \dfrac{1}{4}$

: Επίλογοι.png (17.76 KiB) Προβλήθηκε 312 φορές

#4

Ας είναι

το μέσο του

και

οι προβολές των $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N\,\,$ στις $OD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OZ$ αντίστοιχα. Αν θέσω $AB = 4m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OT = k$ θα είναι:

$MO// = AB \Rightarrow MO = 2m$ κι αφού $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ , τα ορθογώνια τρίγωνα $ABM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TMO$ είναι όμοια , οπότε MT = 2k

.

Όμοια όμως είναι και τα τρίγωνα: $LBM\,\,,\,\,FMN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TBO$ τα δύο πρώτα γιατί έχουν λόγο καθέτων πλευρών :

$\dfrac{{KB}}{{LM}} = \dfrac{{FM}}{{FN}} = 3$ κι έτσι $\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}$ οπότε είναι και το τρίτο όμοιο με τα δύο πρώτα .

: Επίλογοι_d.png (24.64 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές

α) Αναγκαστικα τώρα έχω : $\widehat {{a_2}} + \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_1}} + \widehat {{a_4}} = 45^\circ \Rightarrow MT = TS \Rightarrow OT = OS$ και

β) $TB = 3k \Rightarrow \boxed{\frac{{TM}}{{TB}} = \frac{2}{3}}$

Το τετράπλευρο MONL

είναι παραλληλόγραμμο γιατί $LN// = \frac{1}{2}DC \Rightarrow LN// = MO = 2m$ .

Ας είναι

το σημείο τομής των διαγωνίων του . Από το Θ. Μενελάου στο $\vartriangle SMT$ με διατέμνουσα $\overline {GOB}$ έχω:

$\dfrac{{SG}}{{GM}} \cdot \dfrac{{MB}}{{BT}} \cdot \dfrac{{TO}}{{OS}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{SG}}{{GM}} \cdot \dfrac{{5k}}{{3k}} \cdot \dfrac{k}{k} = 1 \Rightarrow \dfrac{{SG}}{{GM}} = \dfrac{3}{5}$ κι αν ονομάσω MG = 5u

θα είναι

$GS = 3u \Rightarrow DN = 2u \Rightarrow \boxed{\dfrac{{SN}}{{SM}} = \dfrac{{2u}}{{5u + 3u}} = \dfrac{1}{4}}$

Επίλογοι

Επίλογοι

Re: Επίλογοι

Re: Επίλογοι

Re: Επίλογοι

Μέλη σε σύνδεση