Τετράγωνο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 775
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Τετράγωνο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Τετ Δεκ 18, 2019 1:41 pm

GEOMETRIA242=FB4132.jpg
GEOMETRIA242=FB4132.jpg (40.81 KiB) Προβλήθηκε 182 φορές
Εστω τρίγωνο ABC, το ύψος του AD, η διάμεσός του AM και N ο "βόρειος πόλος" του κύκλου με διάμετρο BC.

Αν P\equiv DN \cap AM, X\equiv CP \cap AB, W\equiv BP \cap AC και U, V οι ορθές προβολές των X, W στην BC,

δείξτε οτι το UVWX είναι τετράγωνο


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 735
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τετράγωνο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Δεκ 18, 2019 3:49 pm

sakis1963 έγραψε:
Τετ Δεκ 18, 2019 1:41 pm
GEOMETRIA242=FB4132.jpg
Εστω τρίγωνο ABC, το ύψος του AD, η διάμεσός του AM και N ο "βόρειος πόλος" του κύκλου με διάμετρο BC.

Αν P\equiv DN \cap AM, X\equiv CP \cap AB, W\equiv BP \cap AC και U, V οι ορθές προβολές των X, W στην BC,

δείξτε οτι το UVWX είναι τετράγωνο
Καλησπέρα!

Έστω L\equiv AD\cap XW ,επειδή οι BW,CX τέμνονται πάνω στην διάμεσο AM από γνωστό λήμμα (απόδειξη απλή με Ceva) θα είναι XW//BC και μένει να δείξουμε ότι XW=XU.
Για να ισχύει αυτό αρκεί \dfrac{XW}{BC}=\dfrac{AL}{AD}=\dfrac{AD-LD}{AD}=\dfrac{AD-XW}{AD}\Leftrightarrow XW=\dfrac{AD\cdot a}{AD+a}
Όμως είναι \Delta APD\sim \Delta MPN \Rightarrow \dfrac{AP}{PM}=\dfrac{AD}{MN} και από Van Aubel γίνεται 2\cdot \dfrac{AX}{BX}=\dfrac{AD}{\dfrac{a}{2}}\Leftrightarrow \dfrac{AX}{BX}=\dfrac{AD}{a}\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow AX=\dfrac{c\cdot AD}{a+AD}
Αρκεί επομένως \dfrac{AX}{AB}=\dfrac{\dfrac{AD\cdot a}{a+AD}}{a}\Leftrightarrow \dfrac{AD}{a+AD}=\dfrac{AD}{a+AD} που ισχύει άρα το UVWX είναι τετράγωνο

Έγινε μικρή διόρθωση τυπογραφικού
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Πέμ Δεκ 19, 2019 3:03 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1097
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Re: Τετράγωνο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ » Τετ Δεκ 18, 2019 9:27 pm

Μία άλλη αντιμετώπιση με θεώρημα Desargues.
Κατασκευάζουμε το τετράγωνο BCDE που είναι ομοιόθετο του UVWX με κέντρο Z.
Τα τρίγωνα EZN, BAM έχουν τις τομές C,P,X των ομόλογων πλευρών τους σε ευθεία, καθώς οι ομόλογες κορυφές τους ορίζουν παράλληλες ευθείες.
Συνημμένα
εγγεγραμμένο τετράπλευρο.png
εγγεγραμμένο τετράπλευρο.png (494.94 KiB) Προβλήθηκε 100 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης