Κατασκευή και λόγος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11540
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κατασκευή και λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 26, 2019 9:34 am

Κατασκευή  και  λόγος.png
Κατασκευή και λόγος.png (10.18 KiB) Προβλήθηκε 87 φορές
Κατασκευάστε τρίγωνο \displaystyle ABC , με AB=AC , στο οποίο αν AD=DE=EC , το BD να είναι

ύψος του τριγώνου . Αν ο κύκλος (B , E, C) τέμνει το BD στο σημείο S , υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{BS}{SD} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4594
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Κατασκευή και λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Δεκ 26, 2019 10:00 am

Καλημέρα σε όλους.

Γεωμετρικά:


Έστω AD = x, οπότε, από Πυθαγόρειο Θεώρημα στα ABD, BDC είναι

 \displaystyle A{B^2} - A{D^2} = B{C^2} - D{C^2} \Leftrightarrow 8{x^2} = B{C^2} - 4{x^2} \Leftrightarrow BC = 2\sqrt 3 x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}AB .

Κατασκευή: Δίνεται το μήκος AB. Στην πλευρά Ox ορθής γωνίας  \displaystyle \widehat {xOy} παίρνουμε τμήμα OM=AB.

Κατασκευάζουμε γωνία  \displaystyle \widehat {OMz} = 30^\circ που τέμνει την Oy στο Ν, οπότε  \displaystyle \varepsilon \varphi 30^\circ  = \frac{{{\rm O}{\rm N}}}{{{\rm O}{\rm M}}} \Rightarrow {\rm O}{\rm N} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}{\rm O}{\rm M} \Rightarrow {\rm O}{\rm N} = \frac{{BC}}{2} κι έτσι κατασκευάζουμε το BC, οπότε και το τρίγωνο.

Με Αναλυτική Γεωμετρία:

26-12-2019 Γεωμετρία.png
26-12-2019 Γεωμετρία.png (40.31 KiB) Προβλήθηκε 75 φορές


Έστω D(0,0), A(-1, 0), E(1, 0), C(2, 0), οπότε (AB)=(AC)=3, άρα από Πυθαγόρειο Θεώρημα,  \displaystyle BD = \sqrt 8 , οπότε  \displaystyle B\left( {0,\;\sqrt 8 } \right) κι έτσι οι κορυφές του τριγώνου προσδιορίστηκαν.

Για το 2ο ερώτημα:

Γεωμετρικά:

Είναι  \displaystyle DS \cdot DB = DE \cdot DC \Leftrightarrow DS \cdot 2\sqrt 2 x = 2{x^2} \Leftrightarrow DS = \frac{{\sqrt 2 x}}{2},

άρα  \displaystyle BS = 2\sqrt 2 x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}x = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}x \Rightarrow \frac{{BS}}{{DS}} = 3 .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9189
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή και λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 26, 2019 11:32 am

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά σε όλους!
Κατασκευή και λόγος.Κ.png
Κατασκευή και λόγος.Κ.png (9.82 KiB) Προβλήθηκε 63 φορές
α) Με διάμετρο ένα τμήμα AB=b γράφω ημικύκλιο και θεωρώ σημείο του D ώστε AD=\dfrac{b}{3}. Στη συνέχεια προεκτείνω το AD κατά τμήμα DC=2AD και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

β)Το S είναι ορθόκεντρο του τριγώνου και λόγω του ισοσκελούς η AS διχοτομεί την \widehat A, άρα \displaystyle \frac{{BS}}{{SD}} = \frac{{AB}}{{AD}} =3
Κατασκευή και λόγος.Κ1.png
Κατασκευή και λόγος.Κ1.png (12.49 KiB) Προβλήθηκε 54 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7131
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή και λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Δεκ 26, 2019 12:47 pm

Χρόνια πολλά σε όλους .

Κάτι διαφορετικό.

Κατασκευή.

Έστω τετράγωνο AMZH με κέντρο O.

Ο κύκλος \left( {M,MO} \right) τέμνει τη ευθεία MZ στα B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C. Το τρίγωνο ABC είναι αυτό που θέλω.

Απόδειξη.
Κατασκευή και λόγος_Karkar_26_12_19.png
Κατασκευή και λόγος_Karkar_26_12_19.png (23.63 KiB) Προβλήθηκε 48 φορές
Αν η AC κόψει το κύκλο στο D και E το μέσο της χορδής DC θα είναι:

\left\{ \begin{gathered} 
  2M{C^2} = A{M^2} \hfill \\ 
  AD \cdot AC = A{M^2} - M{C^2} = M{C^2} = CE \cdot CA \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Άρα AD = DE = EC.

Εύρεση του λόγου .

Επειδή η SD είναι μεσοκάθετος στο AE θα είναι \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_1}} ενώ \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} ( κάθετες πλευρές )

Δηλαδή το τετράπλευρο BSEC είναι εγγράψιμο .


\left\{ \begin{gathered} 
  2SD// = ME = 2k \hfill \\ 
  BD// = 2ME = 4k \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{BS}}{{SD}} = 3}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες