Παραλληλία από ίσα τμήματα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 764
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Παραλληλία από ίσα τμήματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Δεκ 26, 2019 1:02 pm

Capture5.PNG
Capture5.PNG (23.83 KiB) Προβλήθηκε 282 φορές
Μου προέκυψε λύνοντας μία άλλη:
Δίνεται τρίγωνο ABC με περίκεντρο O και E το κέντρο του κύκλου του Euler του.Αν η AE τέμνει την BC στο D και Z σημείο στην πλευρά BC ώστε BD=ZC να δείξετε ότι OZ\parallel AE



Λέξεις Κλειδιά:
Κω.Κωνσταντινίδης
Δημοσιεύσεις: 37
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm

Re: Παραλληλία από ίσα τμήματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης » Πέμ Δεκ 26, 2019 2:21 pm

Καλησπέρα Πρόδρομε και Χρόνια πολλά σε όλα τα μέλη του :logo: ,

Έστω M η προβολή του O στη BC. Έστω F\equiv AD\bigcap OM. Έστω H το ορθόκεντρο του \Delta ABC και μάλιστα συμμετρικό του O ως προς το E. Εύκολα τώρα OF=AH(αξιοποιώ την παραλληλία των AH και OF). Αφού AH=2OM έπεται ότι OM=MF. Επίσης MD=MZ οπότε τώρα το OZFD
είναι παραλληλόγραμμο οπότε OZ//AE ό.έ.δ.
Ωραίο λήμμα, σε ποια άσκηση εφαρμόζεται;


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 764
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Παραλληλία από ίσα τμήματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Δεκ 26, 2019 2:41 pm

Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε:
Πέμ Δεκ 26, 2019 2:21 pm
Καλησπέρα Πρόδρομε και Χρόνια πολλά σε όλα τα μέλη του :logo: ,

Έστω M η προβολή του O στη BC. Έστω F\equiv AD\bigcap OM. Έστω H το ορθόκεντρο του \Delta ABC και μάλιστα συμμετρικό του O ως προς το E. Εύκολα τώρα OF=AH(αξιοποιώ την παραλληλία των AH και OF). Αφού AH=2OM έπεται ότι OM=MF. Επίσης MD=MZ οπότε τώρα το OZFD
είναι παραλληλόγραμμο οπότε OZ//AE ό.έ.δ.
Ωραίο λήμμα, σε ποια άσκηση εφαρμόζεται;
Γεια σου Κωνταντίνε,ωραία λύση! Θα περιμένω και άλλες λύσεις και θα γράψω και την δική μου σκέψη αν αυτή δεν βρεθεί από κάποιον άλλο .
Την πρόταση την χρησιμοποίησα για βρω κάποια μήκη στο iii εδώ


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9329
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παραλληλία από ίσα τμήματα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 26, 2019 6:26 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Πέμ Δεκ 26, 2019 1:02 pm
Capture5.PNG

Μου προέκυψε λύνοντας μία άλλη:
Δίνεται τρίγωνο ABC με περίκεντρο O και E το κέντρο του κύκλου του Euler του.Αν η AE τέμνει την BC στο D και Z σημείο στην πλευρά BC ώστε BD=ZC να δείξετε ότι OZ\parallel AE
Χρόνια Πολλά σε όλους!

Παρόμοιο.
Παραλληλία από ίσα τμήματα.png
Παραλληλία από ίσα τμήματα.png (15.55 KiB) Προβλήθηκε 196 φορές
Έστω M το μέσο του BC (που είναι μέσο και του DZ), H το ορθόκεντρο, P το σημείο τομής του AH με τον κύκλο του

\displaystyle {\rm{Euler}} και A' το συμμετρικό του A ως προς E. To APMO είναι παραλληλόγραμμο, καθώς επίσης και το AHA'O

(οι διαγώνιοι του διχοτομούνται). Άρα τα σημεία O, M, A' είναι συνευθειακά και OM=MA' οπότε το ODA'Z είναι

ρόμβος που αποδεικνύει το ζητούμενο.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 764
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Παραλληλία από ίσα τμήματα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Δεκ 31, 2019 12:15 am

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Πέμ Δεκ 26, 2019 1:02 pm
Capture5.PNG

Μου προέκυψε λύνοντας μία άλλη:
Δίνεται τρίγωνο ABC με περίκεντρο O και E το κέντρο του κύκλου του Euler του.Αν η AE τέμνει την BC στο D και Z σημείο στην πλευρά BC ώστε BD=ZC να δείξετε ότι OZ\parallel AE
196.PNG
196.PNG (23 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές
Σας ευχαριστώ για τις λύσεις!
Μία ακόμη(θεωρώ OZ//AD και θα δείξω ότι ZC=BD ) : Έστω G το βαρύκεντρο του ABC, H το ορθόκεντρο και M μέσο του BC.
Είναι \dfrac{GE}{GO}=\dfrac{HE}{HO}=\dfrac{1}{2} άρα η δέσμη A(H,E,G,O) είναι αρμονική και αφού OZ//AD θα είναι O μέσο του PQ με P\equiv HA\cap OZ,Q\equiv AM\cap OZ .Είναι PA//OM άρα M μέσο του AQ άρα και του DZ κλπ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες