Νέο ισόπλευρο

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλό απόγευμα.

: Νέο ισόπλευρο.PNG (12.7 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές

Το τρίγωνο ABC

του σχήματος είναι ισόπλευρο ενώ και AD=AB

.

Το

ανήκει στον περίκυκλο του ABC

ώστε $EC \perp CD$ . Η

τέμνει την διχοτόμο της $B\widehat{A}D$ στο

.

Να εξεταστεί αν και το $\triangle BHD$ είναι ισόπλευρο.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Ορέστης Λιγνός · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 29, 2019 2:36 pm
Καλό απόγευμα.
Νέο ισόπλευρο.PNG
Το τρίγωνο του σχήματος είναι ισόπλευρο ενώ και .

Το ανήκει στον περίκυκλο του ώστε $EC \perp CD$ . Η τέμνει την διχοτόμο της $B\widehat{A}D$ στο .

Να εξεταστεί αν και το $\triangle BHD$ είναι ισόπλευρο.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλησπέρα Γιώργο και Χρόνια Πολλά!

Είναι,

, οπότε το

είναι περίκεντρο του $\vartriangle BDC$ . Συνεπώς, $\angle DAC=2\angle CBD$ .

Επίσης, το $\vartriangle DAC$ είναι ισοσκελές με AD=AC

, άρα $\angle ACD=90^\circ-\dfrac{\angle DAC}{2}=90^\circ-\angle CBD$ .

Οπότε, προκύπτει $\angle CBD=90^\circ-\angle ACD=\angle ECA=\angle EBA \Rightarrow \angle CBD=\angle EBA$ .

Συνεπώς, $\angle HBD=\angle HBC+\angle CBD=\angle EBC+\angle ABE=\angle ABC=60^\circ$ .

Όμως, αφού στο ισοσκελές $\vartriangle ABD$ η

είναι διχοτόμος, είναι και μεσοκάθετος της

.

Επομένως, HB=HD

που σε συνδυασμό με το ότι $\angle HBD=60^\circ$ , δίνει ότι το $\vartriangle HBD$ είναι ισόπλευρο.

Ορέστης Λιγνός · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 29, 2019 2:36 pm
Καλό απόγευμα.
Νέο ισόπλευρο.PNG
Το τρίγωνο του σχήματος είναι ισόπλευρο ενώ και .

Το ανήκει στον περίκυκλο του ώστε $EC \perp CD$ . Η τέμνει την διχοτόμο της $B\widehat{A}D$ στο .

Να εξεταστεί αν και το $\triangle BHD$ είναι ισόπλευρο.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Μία ελάχιστα διαφορετική λύση ...

Έστω, $\angle ABE=\phi$ .

Όπως στην προηγούμενη λύση, το

είναι περίκεντρο του $\vartriangle BDC$ , άρα $\angle BCD=\angle BAD/2=\theta$ .

Οπότε, $\phi+\theta=90^\circ-\angle ACB=30^\circ$ .

Έστω τώρα $K \equiv AD \cap (A,B,C)$ .

Έχω, $\angle DKB=\angle ACB=\angle ABC=\angle AKC$ , άρα

διχοτόμος της $\angle BKC$ και επίσης $\angle BCD=\theta=\angle BAK/2=\angle BCK/2$ , οπότε η

διχοτομεί την $\angle BCK$ .

Άρα το

είναι έκκεντρο του $\vartriangle BCK$ .

Οπότε, $\angle BDK=90^\circ+\angle BCK/2=90^\circ+\theta$ .

Τελικά, έχουμε $\angle HDA=\angle HBA=\phi$ , άρα $\angle HDB=180^\circ-\angle HDA-\angle BDK=180^\circ-90^\circ-\phi-\theta=60^\circ$ , και αφού HB=HD

, προκύπτει το ζητούμενο!

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #4

Γεια σας και καλές γιορτές!
Είναι $\widehat{ADH}=\widehat{ABH}=\widehat{ACE}$ . Τώρα είναι $\widehat{HDC}=\widehat{HDA}+\widehat{ADC}=\widehat{ACE}+\widehat{ACB}=90^{\circ}\Rightarrow EC\parallel HD\Rightarrow \widehat{BHD}=\widehat{BEC}=\widehat{BAC}=60^{\circ}$
οπότε το τρίγωνο BHD

είναι ισόπλευρο.

Νέο ισόπλευρο

Νέο ισόπλευρο

Re: Νέο ισόπλευρο

Re: Νέο ισόπλευρο

Re: Νέο ισόπλευρο

Μέλη σε σύνδεση