Παραλληλία και τριχοτόμηση

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11538
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παραλληλία και τριχοτόμηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 03, 2020 9:59 am

Παραλληλία  και τριχοτόμηση.png
Παραλληλία και τριχοτόμηση.png (11.35 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές
Στην προέκταση της διαμέτρου AB , κύκλου (O) , κινείται σημείο S , από το οποίο

φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα SP,ST και ονομάζουμε M το μέσο του ST .

Για ποια θέση του S , προκύπτει : PM \parallel AT ; Αν η PM τέμνει τον κύκλο

στο σημείο Q , δείξτε ότι :  PQ=\dfrac{1}{3}PM .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7131
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παραλληλία και τριχοτόμηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 03, 2020 12:35 pm

Επειδή BT \bot TA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PM//TA θα είναι και TB \bot MP . Έστω N το σημείο τομής των TB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PM. Αφού η TB είναι διχοτόμος της \widehat {STP} θα έχω:

\boxed{TM = TP = \dfrac{1}{2}SP = \dfrac{1}{2}ST} . Άρα \cos 2\theta  = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{{1 - {{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \boxed{{{\tan }^2}\theta  = \dfrac{3}{5}}.

Δηλαδή \dfrac{{T{B^2}}}{{T{A^2}}} = \dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = \dfrac{3}{8}2R = \dfrac{3}{4}R \hfill \\ 
  y = \dfrac{5}{4}R \hfill \\  
\end{gathered}  \right. .
Παραλληλία και τριχοτόμηση.png
Παραλληλία και τριχοτόμηση.png (20.69 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές
Δηλαδή προσδιορίζω, με βάσει τα πιο πάνω, το σημείο τομής D των AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PT

και μετά φέρνω κάθετη σ αυτό στην AB και προσδιορίζω τα P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,T άρα και το S.

Επειδή k = 2EM = 2u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PE = AT = k \Rightarrow u + QE = 2u \Rightarrow QE = u . Άρα \boxed{\dfrac{{PQ}}{{PM}} = \dfrac{u}{{3u}} = \dfrac{1}{3}}

Παρατήρηση : Το S επί της ουσίας είναι το αρμονικό συζυγές του D ως προς τα A,B και το τετράπλευρο ATMQ είναι παραλληλόγραμμο .
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Παρ Ιαν 03, 2020 12:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9188
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παραλληλία και τριχοτόμηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 03, 2020 12:42 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 03, 2020 9:59 am
Παραλληλία και τριχοτόμηση.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου AB , κύκλου (O) , κινείται σημείο S , από το οποίο

φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα SP,ST και ονομάζουμε M το μέσο του ST .

Για ποια θέση του S , προκύπτει : PM \parallel AT ; Αν η PM τέμνει τον κύκλο

στο σημείο Q , δείξτε ότι :  PQ=\dfrac{1}{3}PM .
Έστω SB=x και N το σημείο τομής των AS, PM. Λόγω της παραλληλίας, N είναι το μέσο του

AS και AT=2MN. Επειδή AP=AT, NP=NT, AT||PN, το APNT είναι ρόμβος.
Παραλληλία και τριχοτόμηση.Κ.png
Παραλληλία και τριχοτόμηση.Κ.png (28.34 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές
Άρα \displaystyle \frac{{PN}}{{NM}} = \frac{2}{1}, δηλαδή το N είναι βαρύκεντρο του τριγώνου PTS και NS=\dfrac{2SK}{3}.

\displaystyle S{P^2} = SK \cdot SO \Leftrightarrow x(x + 2R) = SK(x + R) \Leftrightarrow SK = \frac{{x(x + 2R)}}{{x + R}}

\displaystyle SN = \frac{{2SK}}{3} \Leftrightarrow \frac{x}{2} + R = \frac{2}{3}\left( {\frac{{{x^2} + 2Rx}}{{x + R}}} \right) \Leftrightarrow {x^2} - Rx - 6{R^2}\mathop  = \limits^{x > 0} 0 \Leftrightarrow \boxed{x=3R}

Τα τρίγωνα APQ,TNM είναι ίσα γιατί \displaystyle AP = TN,P\widehat AQ = N\widehat PS = N\widehat TM και

\displaystyle A\widehat PN = A\widehat TN = T\widehat NM, άρα \boxed{PQ = MN = \frac{1}{3}PM}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11538
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Παραλληλία και τριχοτόμηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 03, 2020 1:11 pm

Κάπως αλλιώς τα λέγατε(με) εδώ :oops: .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9188
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παραλληλία και τριχοτόμηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 03, 2020 1:21 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 03, 2020 1:11 pm
Κάπως αλλιώς τα λέγατε(με) εδώ :oops: .
Πλουραλισμός :)


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1809
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Παραλληλία και τριχοτόμηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Ιαν 04, 2020 6:06 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 03, 2020 9:59 am
Παραλληλία και τριχοτόμηση.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου AB , κύκλου (O) , κινείται σημείο S , από το οποίο

φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα SP,ST και ονομάζουμε M το μέσο του ST .

Για ποια θέση του S , προκύπτει : PM \parallel AT ; Αν η PM τέμνει τον κύκλο

στο σημείο Q , δείξτε ότι :  PQ=\dfrac{1}{3}PM .
Επειδή PI//AT \Rightarrow PQTA ισοσκελές τραπέζιο \Rightarrow PA=QT.

Επιπλέον, AE=EI \Rightarrow PITA ρόμβος και I μέσον της AS.Άρα AT= PI=2IM

Είναι προφανής η ισότητα των μπλε γωνιών κι επειδή NT \bot AT \Rightarrow TN \bot PM \Rightarrow PM διχοτόμος της  \angle QTI άρα και της   \angle PTM

Ετσι, QN=NI και PN=NM \Rightarrow PQ=IM= \dfrac{1}{3} PM \Rightarrow QI=\dfrac{1}{3} PM

Έστω τώρα OE=x .Είναι, AS=4AE=4(R+x) \Rightarrow ES=3(R+x) \Rightarrow OS=3R+4x

Ισχύει, R^2=x(3R+4x) \Rightarrow x= \frac{R}{4} \Rightarrow AS=5R
Παραλληλία και τριχοτόμηση.png
Παραλληλία και τριχοτόμηση.png (30.55 KiB) Προβλήθηκε 57 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης