Για μαντράχαλους και μεγάλους πιτσιρίκους !!

Ορέστης Λιγνός · #1

Μία άσκηση που έφτιαξα ...

Έστω οξύγωνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και M,N

σημεία των πλευρών AB,AC

αντίστοιχα, ώστε CA=CM, BA=BN

. Έστω ακόμη ότι οι κύκλοι (B,BM)

και

τέμνουν τα μικρά AB,AC

τόξα του κύκλου (A,B,C)

στα σημεία P,Q

, αντίστοιχα.

Έστω τέλος, D,E

τα ίχνη των υψών από τα B,C

.

Να αποδείξετε ότι $PQ \parallel DE$ .

#2

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 13, 2020 2:12 pm
Μία άσκηση που έφτιαξα ...

Edit:Η παραπάνω λύση ήταν εσφαλμένη, γιατί για κάποιο λόγο ( ) μου φάνηκε ότι τα ήταν μέσα των πλευρών Στην ουσία έλυσα άλλη άσκηση. Την διέγραψα και θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί. Ευχαριστώ τον Ορέστη για την ειδοποίηση.

#3

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 13, 2020 2:12 pm
Μία άσκηση που έφτιαξα ...

Έστω οξύγωνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και σημεία των πλευρών αντίστοιχα, ώστε . Έστω ακόμη ότι οι κύκλοι και τέμνουν τα μικρά τόξα του κύκλου στα σημεία , αντίστοιχα.

Έστω τέλος, τα ίχνη των υψών από τα .

Να αποδείξετε ότι $PQ \parallel DE$ .

Ορίζω διαφορετικά τα P, Q

ως τα σημεία τομής των CM, BN

αντίστοιχα με τον περιγεγραμμένο κύκλο και θα δείξω ότι BP=BM

και

: Orestis...png (27.41 KiB) Προβλήθηκε 485 φορές

Από τα ισοσκελή BAN, CAM

προκύπτει ότι $\displaystyle B\widehat MC = B\widehat NC,$ άρα AMNC

είναι εγγράψιμο. Είναι ακόμα,

$\displaystyle B\widehat PC = \widehat A = B\widehat QC.$ Αλλά, $\displaystyle P\widehat MB = A\widehat MC = \widehat A = A\widehat NB = Q\widehat NC.$ Άρα, BP=BM

και

δηλαδή τα

είναι τα σημεία τομής των κύκλων (B, BM), (C, CN)

με τον περίκυκλο,

όπως ορίζει η εκφώνηση. Επειδή τώρα τα E, D

είναι μέσα των AM, AN

θα είναι

Αρκεί λοιπόν,

PQ||MN.

Πράγματι, $\displaystyle M\widehat NB = P\widehat CB = P\widehat QB$ και το ζητούμενο έπεται.

Για μαντράχαλους και μεγάλους πιτσιρίκους !!

Για μαντράχαλους και μεγάλους πιτσιρίκους !!

Re: Για μαντράχαλους και μεγάλους πιτσιρίκους !!

Re: Για μαντράχαλους και μεγάλους πιτσιρίκους !!

Μέλη σε σύνδεση