Σύμμετρο-μετρική

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1138
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Σύμμετρο-μετρική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Ιαν 15, 2020 2:32 pm

Στο τρίγωνο ABC κατασκευάστηκε το σημείο D, συμμετρικό του κέντρου I του εγγεγραμμένου κύκλου του ως προς το κέντο O του περιγεγραμμένου του κύκλου. Να αποδείξετε, ότι AD^2=4R^2-AB \cdot AC, όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC.


(Για Γ' Λυκείου)
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Πέμ Ιαν 16, 2020 5:21 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Σύμμετρο-μετρική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Ιαν 16, 2020 12:35 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Ιαν 15, 2020 2:32 pm
Στο τρίγωνο ABC κατασκευάστηκε το σημείο D, συμμετρικό του κέντρου I του εγγεγραμμένου κύκλου του ως προς το κέντο O του περιγεγραμμένου του κύκλου. Να αποδείξετε, ότι AD^2=4R^2-AB \cdot AC, όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC.


(Για Γ' Λυκείου)
208.PNG
208.PNG (27.78 KiB) Προβλήθηκε 137 φορές
Από το πρώτο θ.διαμέσων στο AID είναι : R^2=\dfrac{2\left ( AI^2+AD^2 \right )-4OI^2}{4}\Leftrightarrow AD^2=2R^2+2OI^2-AI^2
Η σχέση Euler OI^2=R(R-2r) (r ακτίνα έγκυκλου) και αρκεί 4R^2-bc=2R^2+2OI^2-AI^2=4R^2-4Rr-AI^2\Leftrightarrow AI^2=-4Rr+bc
Είναι sr=\left ( ABC \right )=\dfrac{abc}{4R}\Leftrightarrow 4Rr=\dfrac{2abc}{a+b+c} (s η ημιπερίμετρος).
Άρα αρκεί AI^2=bc-\dfrac{2abc}{a+b+c}=\dfrac{bc\left ( b+c-a \right )}{a+b+c}
Όμως αν AF διχοτόμος τότε κάνοντας χρήση του τύπου της διχοτόμου παίρνουμε:
AI=\dfrac{AF\cdot AB}{AB+BF}=\dfrac{\dfrac{2}{b+c}\sqrt{bc\dfrac{\left (a+b+c \right )\left ( b+c-a \right )}{4}}\cdot c}{c+\dfrac{ac}{b+c}}=\dfrac{\sqrt{bc\left ( a+b+c \right )\left ( b+c-a \right )}}{a+b+c}\Leftrightarrow AI^2=\,\,\,..=\dfrac{bc\left ( b+c-a \right )}{a+b+c}

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε :sleeping:


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1617
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Σύμμετρο-μετρική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Ιαν 16, 2020 9:06 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Ιαν 15, 2020 2:32 pm
Στο τρίγωνο ABC κατασκευάστηκε το σημείο D, συμμετρικό του κέντρου I του εγγεγραμμένου κύκλου του ως προς το κέντρο O του περιγεγραμμένου του κύκλου. Να αποδείξετε, ότι AD^2=4R^2-AB \cdot AC, όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC.


(Για Γ' Λυκείου)
Έστω A' το αντιδιαμετρικό του A στον κύκλο (A,B,C). Τότε, έχουμε ότι στο τετράπλευρο ADA'I οι διαγώνιές του διχοτομούνται, επομένως αυτό είναι παραλληλόγραμμο.

Άρα, AD=A'I. Επίσης, AA'=2R, οπότε αρκεί να δείξω ότι AA'^2-A'I^2=AB \cdot AC (1).

Έστω K \equiv AI \cap (A,B,C).

Όμως, τα τρίγωνα \vartriangle AKA', \vartriangle IKA' είναι ορθογώνια, άρα από Π.Θ. έχουμε AA'^2-A'I^2=AK^2-KI^2 (2).

Από γνωστό Λήμμα, KI=KB=KC (3).

Φέρνουμε KM \perp AB, KL \perp AC, και WLOG υποθέτω ότι το M βρίσκεται στο εξωτερικό του ευθυγράμμου τμήματος AB ενώ το L στο εσωτερικό του ευθυγράμμου τμήματος AC.

Τότε, η AK διχοτομεί την \angle MAL, οπότε AM=AL,KM=KL. Εύκολα προκύπτει και ότι BM=CL (από την ισότητα των τριγώνων \vartriangle BMK,\vartriangle KCL).

Συνεπώς, AB+BM=AC-CL \Rightarrow 2BM=b-c \Rightarrow BM=CL=(b-c)/2 (4).

Επομένως από (3), (4) : AK^2-KI^2=AK^2-KC^2=AL^2-LC^2=(b-LC)^2-LC^2=(\dfrac{b+c}{2})^2-(\dfrac{b-c}{2})^2=bc.

Συνεπώς, από την (2) προκύπτει ότι AA'^2-AI^2=bc, που είναι το ζητούμενο.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης