Σύμμετρο-μετρική
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Σύμμετρο-μετρική
Στο τρίγωνο κατασκευάστηκε το σημείο , συμμετρικό του κέντρου του εγγεγραμμένου κύκλου του ως προς το κέντο του περιγεγραμμένου του κύκλου. Να αποδείξετε, ότι , όπου η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
(Για Γ' Λυκείου)
(Για Γ' Λυκείου)
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Πέμ Ιαν 16, 2020 5:21 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Σύμμετρο-μετρική
Από το πρώτο θ.διαμέσων στο είναι :Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Ιαν 15, 2020 2:32 pmΣτο τρίγωνο κατασκευάστηκε το σημείο , συμμετρικό του κέντρου του εγγεγραμμένου κύκλου του ως προς το κέντο του περιγεγραμμένου του κύκλου. Να αποδείξετε, ότι , όπου η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
(Για Γ' Λυκείου)
Η σχέση ( ακτίνα έγκυκλου) και αρκεί
Είναι ( η ημιπερίμετρος).
Άρα αρκεί
Όμως αν διχοτόμος τότε κάνοντας χρήση του τύπου της διχοτόμου παίρνουμε:
και η απόδειξη ολοκληρώθηκε
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Σύμμετρο-μετρική
Έστω το αντιδιαμετρικό του στον κύκλο . Τότε, έχουμε ότι στο τετράπλευρο οι διαγώνιές του διχοτομούνται, επομένως αυτό είναι παραλληλόγραμμο.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Ιαν 15, 2020 2:32 pmΣτο τρίγωνο κατασκευάστηκε το σημείο , συμμετρικό του κέντρου του εγγεγραμμένου κύκλου του ως προς το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου. Να αποδείξετε, ότι , όπου η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
(Για Γ' Λυκείου)
Άρα, . Επίσης, , οπότε αρκεί να δείξω ότι (1).
Έστω .
Όμως, τα τρίγωνα είναι ορθογώνια, άρα από Π.Θ. έχουμε (2).
Από γνωστό Λήμμα, (3).
Φέρνουμε , και WLOG υποθέτω ότι το βρίσκεται στο εξωτερικό του ευθυγράμμου τμήματος ενώ το στο εσωτερικό του ευθυγράμμου τμήματος .
Τότε, η διχοτομεί την , οπότε . Εύκολα προκύπτει και ότι (από την ισότητα των τριγώνων ).
Συνεπώς, (4).
Επομένως από (3), (4) : .
Συνεπώς, από την (2) προκύπτει ότι , που είναι το ζητούμενο.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες