Κύκλοι σε ισόπλευρο

KARKAR · #1

: Κύκλοι σε ισόπλευρο.png (19.82 KiB) Προβλήθηκε 387 φορές

Στην πλευρά

, ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε σημείο

, ώστε :

.

Ο κύκλος (K,KA)

τέμνει την πλευρά

στο σημείο

, ενώ ο κύκλος (K,KC)

τέμνει

τις AC , BC

στα σημεία P, Q

αντίστοιχα . α) Βρείτε την θέση του

για την οποία η

εφάπτεται του μικρού κύκλου και δείξτε ότι το

είναι το άλλο εφαπτόμενο τμήμα .

β) Βρείτε την θέση του

ώστε οι εφαπτόμενες από το

στον μικρό κύκλο είναι κάθετες .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 21, 2020 2:51 pm
Κύκλοι σε ισόπλευρο.pngΣτην πλευρά , ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε σημείο , ώστε : .

Ο κύκλος τέμνει την πλευρά στο σημείο , ενώ ο κύκλος τέμνει

τις στα σημεία αντίστοιχα . α) Βρείτε την θέση του για την οποία η

εφάπτεται του μικρού κύκλου και δείξτε ότι το είναι το άλλο εφαπτόμενο τμήμα .

β) Βρείτε την θέση του ώστε οι εφαπτόμενες από το στον μικρό κύκλο είναι κάθετες .

: Κύκλοι σε ισόπλευρο.Κ.png (33.95 KiB) Προβλήθηκε 358 φορές

α) $\displaystyle AK = 2KC$ ............. β) $\displaystyle AK = KC\sqrt 2$

Edit: Άρση απόκρυψης. (Τετ Ιαν 22 2020 8:14 am)

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 21, 2020 2:51 pm
Κύκλοι σε ισόπλευρο.pngΣτην πλευρά , ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε σημείο , ώστε : .

Ο κύκλος τέμνει την πλευρά στο σημείο , ενώ ο κύκλος τέμνει

τις στα σημεία αντίστοιχα . α) Βρείτε την θέση του για την οποία η

εφάπτεται του μικρού κύκλου και δείξτε ότι το είναι το άλλο εφαπτόμενο τμήμα .

β) Βρείτε την θέση του ώστε οι εφαπτόμενες από το στον μικρό κύκλο είναι κάθετες .

α) Είναι

$PK=KC=QK=x,AP=a-2x,BQ=a-x,KQ=KC=QC, PQ\perp BC,\hat{QPC}=30^{0}=\hat{PQK}=\hat{SQB},\hat{SQP}=60^{0},KQ\perp SQ,$

Το τρίγωνο BSQ

είναι ορθογώνιο γιατί $\hat{SQB}=30^{0},\hat{B}=60^{0},SQ\perp AB,$ και $SQ^{2}=BQ^{2}-BS^{2}\Rightarrow SQ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}(a-x),AS=\dfrac{a+x}{2},$

Στο τρίγωνο $ASL,AK=KL,QK//AS,2QK=AS\Leftrightarrow \dfrac{a+x}{4}=x\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{3}=KC$

Αρα $SQ=\dfrac{a\sqrt{3}}{3},SP^{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3},SP=SQ$ από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ASP

τελικα

είναι μεσοκάθετος στο τμήμα RQ,

και το τρίγωνο SRQ

είναι ισόπλευρο και $SP\perp PK$

συνεχίζεται με το β ερώτημα

στο σχήμα 2 ,το τετράπλευρο SMKN

είναι τετράγωνο και KC=KM=SM=SN=NK=x

Από το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $SLJ,LJ^{2}=2SL^{2}\Rightarrow R=x\sqrt{2},R=AK,a=AK+KC\Rightarrow x=\dfrac{a}{\sqrt{2}+1}= a(\sqrt{2}-1)$

Κύκλοι σε ισόπλευρο

Κύκλοι σε ισόπλευρο

Re: Κύκλοι σε ισόπλευρο

Re: Κύκλοι σε ισόπλευρο

Μέλη σε σύνδεση