Συνευθειακά από κύκλους

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 653
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Συνευθειακά από κύκλους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Ιαν 29, 2020 4:54 pm

217.PNG
217.PNG (46.85 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ABC με ορθόκεντρο H και ύψη BE,CZ.
Θεωρούμε K,L τις τομές του κύκλου (B,H,C) με τον κύκλο του Euler του ABC .

α) Να αποδείξετε ότι AK=AL.
β) Αν ο κύκλος (A,AK) τέμνει τον (A,B,C) στα F,G να δείξετε ότι F,Z,E,G συνευθειακά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 294
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Συνευθειακά από κύκλους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τετ Ιαν 29, 2020 6:47 pm

Καλησπέρα.
Εκτός φακέλου:
Δεν είναι δύσκολο να δούμε-θεωρώντας αρνητική αντιστροφή κέντρου H-ότι αρκεί ο κύκλος (A,AF')\equiv(A,AG')-όπου F',G'\equiv (ABC)\cap FG να μένει σταθερός σε αυτήν την αντιστροφή.
Ας είναι D η προβολή του A στην BC.
Τότε (D,H) αντίστροφα ως προς τον (A)(απλό) οπότε οι (A),(HD) είναι ορθογώνιοι.
Η (αρνητική) αντιστροφή κέντρου H διατηρεί τις γωνίες μεταξύ των καμπύλων,οπότε (A)',(HD)' ορθογώνιοι.Όμως ο (HD)' είναι η εκ του A παράλληλη στην BC,συνεπώς το παραπάνω σημαίνει πως το κέντρο του (A') βρίσκεται πάνω σε αυτή την ευθεία.Βρίσκεται και στην HA,αφού A το κέντρο του (A) οπότε είναι το A.Αφού το κέντρο του (A') ταυτίζεται με του (A),η αντιστροφή φιξάρει τον (A) κλπ...
Γράφτηκε βιαστικά..


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 209
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Συνευθειακά από κύκλους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Τετ Ιαν 29, 2020 10:29 pm

Όμορφη :)
Oμοιοθεσία λόγου \lambda =\frac{1}{2} από το A στέλνει τον κύκλο Euler ΣΤΟΝ (BHC) άρα τα κέντρα των κύκλων Euler,(BHC) είναι συνευθειακά με το A. Δηλαδή το A ανήκει στην μεσοκάθετη του KL άρα AK=AL. KL,ZE,BC συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των κύκλων Euler,(ZECB),(BHC) στο S. FG,KL,BC συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των (A,AK),(BHC),(ABC) το οποίο είναι πάλι το S. Ως αποτέλεσμα το S ανήκει στον ριζικό άξονα των Euler,(ABC) .(Ο περίκεντρο του ABC)Ισχύει AO\perp ZE (AO ισογώνια συζηγή με την ΗΑ στο ΑΒC με ABC,AZE όμοια) και αυτό σημαίνει πως SZE ριζικός άξονας των (ABC),Euler. Επιπλέον AO\perp FG αφού AF=AG=AK ΆΡΑ SFG ριζικός άξονας των (ABC),Euler εν κατακλείδι FG\equiv ZE δηλαδή F,Z,E,G συνευθειακά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης