Σχετικό και απόλυτο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11535
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σχετικό και απόλυτο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 30, 2020 9:43 pm

Σχετικό  και  απόλυτο.png
Σχετικό και απόλυτο.png (8.28 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι AB=3 , AC=5 , \hat{B}=90^0 . Προεκτείνω τις AB,AC , κατά τμήματα :

BB' = CC' =d . Ονομάζω m το τμήμα MN , το οποίο συνδέει τα μέσα των BC , B'C' αντίστοιχα .

α) Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{m}{d} ...β ) Για ποια τιμή του d , προκύπτει : \hat{C'}=45^0 ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7127
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σχετικό και απόλυτο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιαν 30, 2020 11:21 pm

σχετικό κι απόλυτο_a.png
σχετικό κι απόλυτο_a.png (25.85 KiB) Προβλήθηκε 229 φορές

α) Έστω MK// = BB' = d\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ML// = CC' = d . Το τετράπλευρο B'KC'L έχει B'K// = LC' , άρα είναι παραλληλόγραμμο.

Τότε όμως το \vartriangle MKL είναι ισοσκελές με διάμεσο, ύψος και διχοτόμο το MN = m.

Θα είναι MN//AD , όπου AD η σταθερή διχοτόμος του \vartriangle ABC.

Φέρνω λοιπόν την εξωτερική διχοτόμο AF. Θα είναι BF = \dfrac{{4 \cdot 3}}{{5 - 3}} = 6 και άρα

y = \sqrt {36 + 9}  = 3\sqrt 5 . Έτσι \dfrac{{FA}}{{FB}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2} κι αφού προφανώς :

\vartriangle MKN \approx \vartriangle FBA \Rightarrow \boxed{\dfrac{{MK}}{{MN}} = \dfrac{{FB}}{{FA}} \Rightarrow \dfrac{m}{d} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} .

β)
Σχετικό κι απόλυτο_b.png
Σχετικό κι απόλυτο_b.png (27.05 KiB) Προβλήθηκε 229 φορές


Αν επιλέξω d = 2 τότε το τρίγωνο AB'C θα είναι ισοσκελές με AB' = AC = 7 .

Η διχοτόμος AD θα είναι κάθετη στο B'C συνεπώς το D είναι ορθόκεντρο του \vartriangle AB'C

κι αν η B'D συναντήσει την AC στο T θα είναι : AB = AT = 3 \Rightarrow TC' = 4.

Αλλά B'T = BC = 4 , δηλαδή το τρίγωνο TB'C' είναι ισοσκελές ορθογώνιο κι έτσι :

\widehat {CC'B'} = 45^\circ .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9183
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σχετικό και απόλυτο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 31, 2020 12:22 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 30, 2020 9:43 pm
Σχετικό και απόλυτο.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι AB=3 , AC=5 , \hat{B}=90^0 . Προεκτείνω τις AB,AC , κατά τμήματα :

BB' = CC' =d . Ονομάζω m το τμήμα MN , το οποίο συνδέει τα μέσα των BC , B'C' αντίστοιχα .

α) Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{m}{d} ...β ) Για ποια τιμή του d , προκύπτει : \hat{C'}=45^0 ;
Γράφω μόνο τα κύρια σημεία γιατί οι πράξεις είναι πολλές.

Η NM τέμνει τις AC, BA στα D, E αντίστοιχα και έστω AD=x, AE=y.
Σχετικό και απόλυτο.png
Σχετικό και απόλυτο.png (11 KiB) Προβλήθηκε 185 φορές
α) \displaystyle  \bullet Με δύο Μενέλαους στα τρίγωνα ABC, AB'C' και με διατέμνουσες \displaystyle{\displaystyle \overline {MDE} ,\overline {NDE} } αντίστοιχα, βρίσκω

x=y=1 (ανεξάρτητα του μήκους του d). Οπότε CD=4.

\displaystyle  \bullet \displaystyle \cos \theta  = \cos \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{1 + \cos A}}{2}}  = \frac{2}{{\sqrt 5 }},EM = 2\sqrt 5 ,DM = \frac{6}{{\sqrt 5 }} και με νόμο συνημιτόνων στα

EB'N, DNC' (όπου EB'=DC'=4+d, B'N=NC', καταλήγω στο \boxed{\frac{m}{d} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}}

β) \displaystyle \sin B' = \sin (135^\circ  - A) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\frac{3}{5} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\frac{4}{5} = \frac{{7\sqrt 2 }}{{10}} και με νόμο ημιτόνων στο AB'C':

\displaystyle \frac{{5 + d}}{{\sin B'}} = \frac{{3 + d}}{{\sin 45^\circ }} \Leftrightarrow \boxed{d=2} (Σε αυτή τη θέση είναι NC\bot AC).


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 187
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Σχετικό και απόλυτο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Παρ Ιαν 31, 2020 3:07 pm

Εναλλακτικά (με διανύσματα):

\vec{BB'}\cdot \vec{CC'}=d^2cosA=\dfrac{3d^2}{5}

Ακόμη, ισχύει:

\vec{MB'}=\vec{MB}+\vec{BB'}, \vec{MC'}=\vec{MC}+\vec{CC'}

και

\vec{MN}=\dfrac{\vec{MB'}+\vec{MC'}}{2}=\dfrac{\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{BB'}+\vec{CC'}}{2}=\dfrac{\vec{BB'}+\vec{CC'}}{2}

Τελικά

m^2=\left | \vec{MN} \right |^2=\dfrac{\left | BB' \right |^2+\left | CC' \right |^2+2\vec{BB'}\cdot \vec{CC'}}{4}=\dfrac{2d^2+\dfrac{6d^2}{5}}{4}=\dfrac{4d^2}{5}\Rightarrow \dfrac{m}{d}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}


Κώστας Σφακιανάκης
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 124
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Σχετικό και απόλυτο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Παρ Ιαν 31, 2020 3:27 pm

Χαιρετώ!
α) Έστω C'' το συμμετρικό του C', ως προς το M. Είναι \widehat{C''BB'}=180^{\circ}-\widehat{C''BA}=\widehat{A}. Τώρα στο ισοσκελές τρίγωνο C''BB' με νόμο συνημιτόνων έχω: 4m^{2}=2b^{2}-2d^{2}\cdot \left ( -\dfrac{3}{5} \right )\Leftrightarrow 20m^{2}=10d^{2}+16d^{2}\Leftrightarrow \dfrac{m}{d}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.
β) Έστω B'C'=x.
Με νόμο συνημητόνων στο τρίγωνο AB'C' έχω: x^{2}=\left ( 3+d \right )^{2}+\left ( 5+d \right )^{2}-2\left ( 3+d \right )\left ( 5+d \right )\cdot \dfrac{3}{5}\Leftrightarrow \overset{\acute{\alpha} \chi \alpha \rho \varepsilon \varsigma }{...}\Leftrightarrow x^{2}=\dfrac{4b^{2}+32b+80}{5}\,\,(1)
Με νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο AB'C' έχω : \dfrac{x}{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{3+d}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\Leftrightarrow \dfrac{5x}{4}=\dfrac{6+2b}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x=\dfrac{8b+24}{5\sqrt{2}}\Leftrightarrow x^{2}=\dfrac{64b^{2}+384b+576}{50}
\,\,(2)
Απο τις (1) και (2) τώρα έχω :\dfrac{4b^{2}+32b+80}{5}=\dfrac{64b^{2}+384b+576}{50}\Leftrightarrow {...}\Leftrightarrow 3b^{2}+8b-28=0,\Delta =400 με δεκτή ρίζα την d=2.
Σχετικό και απόλυτο.PNG
Σχετικό και απόλυτο.PNG (36.36 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 187
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Σχετικό και απόλυτο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Παρ Ιαν 31, 2020 5:56 pm

Αλλιώς για το β ερώτημα:

Έστω BK η διχοτόμος της \angle B.

Τότε BKC'B' εγγράψιμο.

Από θ. διχοτόμων έχω AK=\dfrac{15}{7}, CK=\dfrac{20}{7}.

Από θ. δύναμης σημείου έχω

AB\cdot AB'=AK\cdot AC'\Leftrightarrow 3(d+3)=\dfrac{15}{7}(d+5)\Leftrightarrow d=2


Κώστας Σφακιανάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες