Ωραίο γινόμενο

KARKAR · #1

: Ωραίο γινόμενο.png (18.69 KiB) Προβλήθηκε 302 φορές

Τα σημεία M,N,L

είναι τα μέσα των πλευρών BC ,CA , AB

αντίστοιχα , τριγώνου $\displaystyle ABC$ .

Οι προεκτάσεις των ML ,MN

, τέμνουν την εφαπτομένη του περικύκλου στο

, στα σημεία

S , P

αντίστοιχα . Υπολογίστε το γινόμενο $SB \cdot PC$ , συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 03, 2020 12:30 pm
Ωραίο γινόμενο.pngΤα σημεία είναι τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα , τριγώνου $\displaystyle ABC$ .

Οι προεκτάσεις των , τέμνουν την εφαπτομένη του περικύκλου στο , στα σημεία

αντίστοιχα . Υπολογίστε το γινόμενο $SB \cdot PC$ , συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου .

: Ωραίο γινόμενο.png (25.71 KiB) Προβλήθηκε 289 φορές

Από τις παραλληλίες και τις γωνίες χορδής κι εφαπτομένης, οι κόκκινες γωνίες είναι μεταξύ τους ίσες, καθώς επίσης

και οι πράσινες. Άρα, τα ASBM, APCM

είναι εγγράψιμα και τα τρίγωνα LSB, LAM

όμοια, όπως και τα

NPC, NAM.

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{SB}}{{AM}} = \dfrac{{BL}}{{ML}} = \dfrac{c}{b}\\ \\ \dfrac{{PC}}{{AM}} = \dfrac{{NC}}{{NM}} = \dfrac{b}{c} \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^ \otimes \frac{{SB \cdot PC}}{{A{M^2}}} = \frac{c}{b} \cdot \frac{b}{c} = 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{ SB \cdot PC = A{M^2} = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}}$

Ωραίο γινόμενο

Ωραίο γινόμενο

Re: Ωραίο γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση