Κλασσικό τρίγωνο κλασσικός λόγος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7210
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Κλασσικό τρίγωνο κλασσικός λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Φεβ 04, 2020 12:07 pm

Κλασσικό τρίγωνο κλασσικός λόγος.png
Κλασσικό τρίγωνο κλασσικός λόγος.png (14.28 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές
Δίδεται ορθογώνιο τρίγωνο ABC\,\,(A = 90^\circ ) με AB = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AC = 4.

Σημείο S κινείται στην ημιευθεία BC . Έστω σημείο E της ημιευθείαςBA τέτοιο ώστε : BS = BE και M το μέσο του SE.

Σημείο T ανήκει στην προέκταση του BS προς το S και τέτοιο ώστε : SM = ST.

Να υπολογίσετε το λόγο : \dfrac{{BT}}{{ES}}

Όλες οι λύσεις δεκτές αλλά οι αμιγώς γεωμετρικές είναι η συμπάθειά μου
.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9370
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κλασσικό τρίγωνο κλασσικός λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Φεβ 04, 2020 1:06 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Φεβ 04, 2020 12:07 pm
Κλασσικό τρίγωνο κλασσικός λόγος.png

Δίδεται ορθογώνιο τρίγωνο ABC\,\,(A = 90^\circ ) με AB = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AC = 4.

Σημείο S κινείται στην ημιευθεία BC . Έστω σημείο E της ημιευθείαςBA τέτοιο ώστε : BS = BE και M το μέσο του SE.

Σημείο T ανήκει στην προέκταση του BS προς το S και τέτοιο ώστε : SM = ST.

Να υπολογίσετε το λόγο : \dfrac{{BT}}{{ES}}

Όλες οι λύσεις δεκτές αλλά οι αμιγώς γεωμετρικές είναι η συμπάθειά μου
.
Doloros classic.png
Doloros classic.png (11.69 KiB) Προβλήθηκε 180 φορές
Αφού BS=BE, η BD είναι διχοτόμος και \displaystyle AD = \frac{3}{2},B{D^2} = ac - AD \cdot DC = 15 - \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \Leftrightarrow BD = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}

Τα τρίγωνα BMS, BAD είναι όμοια: \displaystyle \frac{{BS}}{{SM}} = \frac{{BD}}{{AD}} = \sqrt 5

\displaystyle \frac{{BT}}{{ES}} = \frac{{BS + ST}}{{2SM}} = \frac{{BS + SM}}{{2SM}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{BT}}{{ES}} = \frac{{\sqrt 5  + 1}}{2} = \Phi }


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9370
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κλασσικό τρίγωνο κλασσικός λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Φεβ 04, 2020 4:42 pm

Αλλιώς, με νόμο συνημιτόνων στο BES.
Doloros classic.II.png
Doloros classic.II.png (11.74 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές
\displaystyle E{S^2} = 2{x^2} - 2{x^2}\cos B = \frac{{4{x^2}}}{5} \Leftrightarrow ES = \frac{{2x\sqrt 5 }}{5}

\displaystyle \frac{{BT}}{{ES}} = \frac{{x + \frac{{ES}}{2}}}{{ES}} = \frac{{x(5 + \sqrt 5 )}}{{2x\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5  + 1}}{2}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1263
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Κλασσικό τρίγωνο κλασσικός λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Φεβ 05, 2020 1:26 am

Ο λόγος \Phi δεν είναι ο μόνος ..λόγος για να πω Καλημέρα σε όλους! Με χρήση του σχήματος
Κλασσικό..N.F.PNG
Κλασσικό..N.F.PNG (7.38 KiB) Προβλήθηκε 101 φορές
Η BM τέμνει την AC στο L.Φέρω την ANI \perp BL (όπως στο σχήμα). Γίνεται φανερό ότι το BALI είναι χαρταετός

με \widehat{BIL}=\widehat{A}=90^\circ και BI=BA=3 άρα CI=2.Το ορθ. τρίγωνο LIK είναι όμοιο με το BAC οπότε LI=3/2.

Στο ορθ. BIL για το ύψος IN ισχύει \dfrac{1}{NI^{2}}=\dfrac{1}{BI^{2}}+\dfrac{1}{LI^{2}} και βρίσκουμε NI=\dfrac{3}{\sqrt{5}}\Rightarrow   AI=\dfrac{6}{\sqrt{5}} οπότε \dfrac{BI}{AI}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}.

Τέλος έχουμε \dfrac{BT}{ES}=\dfrac{BS}{ES}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{BI}{AI}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}=\Phi . Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες