Κλασσικό τρίγωνο κλασσικός λόγος

#1

: Κλασσικό τρίγωνο κλασσικός λόγος.png (14.28 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές

Δίδεται ορθογώνιο τρίγωνο $ABC\,\,(A = 90^\circ )$ με $AB = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AC = 4$ .

Σημείο

κινείται στην ημιευθεία

. Έστω σημείο

της ημιευθείας

τέτοιο ώστε : BS = BE

και

το μέσο του

.

Σημείο

ανήκει στην προέκταση του

προς το

και τέτοιο ώστε : SM = ST

.

Να υπολογίσετε το λόγο : $\dfrac{{BT}}{{ES}}$

Όλες οι λύσεις δεκτές αλλά οι αμιγώς γεωμετρικές είναι η συμπάθειά μου .

#2

Doloros έγραψε: Τρί Φεβ 04, 2020 12:07 pm Κλασσικό τρίγωνο κλασσικός λόγος.png

Δίδεται ορθογώνιο τρίγωνο $ABC\,\,(A = 90^\circ )$ με $AB = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AC = 4$ .

Σημείο κινείται στην ημιευθεία . Έστω σημείο της ημιευθείας τέτοιο ώστε : και το μέσο του .

Σημείο ανήκει στην προέκταση του προς το και τέτοιο ώστε : .

Να υπολογίσετε το λόγο : $\dfrac{{BT}}{{ES}}$

Όλες οι λύσεις δεκτές αλλά οι αμιγώς γεωμετρικές είναι η συμπάθειά μου .

: Doloros classic.png (11.69 KiB) Προβλήθηκε 761 φορές

Αφού

η

είναι διχοτόμος και $\displaystyle AD = \frac{3}{2},B{D^2} = ac - AD \cdot DC = 15 - \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \Leftrightarrow BD = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}$

Τα τρίγωνα BMS, BAD

είναι όμοια: $\displaystyle \frac{{BS}}{{SM}} = \frac{{BD}}{{AD}} = \sqrt 5$

$\displaystyle \frac{{BT}}{{ES}} = \frac{{BS + ST}}{{2SM}} = \frac{{BS + SM}}{{2SM}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{BT}}{{ES}} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} = \Phi }$

#3

Αλλιώς, με νόμο συνημιτόνων στο BES.

: Doloros classic.II.png (11.74 KiB) Προβλήθηκε 729 φορές

$\displaystyle E{S^2} = 2{x^2} - 2{x^2}\cos B = \frac{{4{x^2}}}{5} \Leftrightarrow ES = \frac{{2x\sqrt 5 }}{5}$

$\displaystyle \frac{{BT}}{{ES}} = \frac{{x + \frac{{ES}}{2}}}{{ES}} = \frac{{x(5 + \sqrt 5 )}}{{2x\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}$

Γιώργος Μήτσιος · #4

Ο λόγος $\Phi$ δεν είναι ο μόνος ..λόγος για να πω Καλημέρα σε όλους! Με χρήση του σχήματος

: Κλασσικό..N.F.PNG (7.38 KiB) Προβλήθηκε 682 φορές

Η

τέμνει την

στο

.Φέρω την $ANI \perp BL$ (όπως στο σχήμα). Γίνεται φανερό ότι το BALI

είναι χαρταετός

με $\widehat{BIL}=\widehat{A}=90^\circ$ και BI=BA=3

άρα

.Το ορθ. τρίγωνο LIK

είναι όμοιο με το BAC

οπότε

.

Στο ορθ. BIL

για το ύψος

ισχύει $\dfrac{1}{NI^{2}}=\dfrac{1}{BI^{2}}+\dfrac{1}{LI^{2}}$ και βρίσκουμε $NI=\dfrac{3}{\sqrt{5}}\Rightarrow AI=\dfrac{6}{\sqrt{5}}$ οπότε $\dfrac{BI}{AI}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ .

Τέλος έχουμε $\dfrac{BT}{ES}=\dfrac{BS}{ES}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{BI}{AI}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}=\Phi$ . Φιλικά, Γιώργος.

Κλασσικό τρίγωνο κλασσικός λόγος

Κλασσικό τρίγωνο κλασσικός λόγος

Re: Κλασσικό τρίγωνο κλασσικός λόγος

Re: Κλασσικό τρίγωνο κλασσικός λόγος

Re: Κλασσικό τρίγωνο κλασσικός λόγος

Μέλη σε σύνδεση