Ισεμβαδικά και αυτά

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1258
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Ισεμβαδικά και αυτά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Φεβ 09, 2020 11:11 pm

Καλό βράδυ.
Ισεμβαδικά...PNG
Ισεμβαδικά...PNG (13.13 KiB) Προβλήθηκε 237 φορές
Η διχοτόμος της \widehat{BAC} τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου ABC στο S.Τα M,N είναι τα μέσα των AB,AC

και η μεσοκάθετος του AB τέμνει την AS στο E. Να δειχθεί ότι είναι \left ( MES \right )=\left ( ENA \right ). Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1617
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ισεμβαδικά και αυτά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Φεβ 10, 2020 12:20 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Φεβ 09, 2020 11:11 pm
Καλό βράδυ.
Ισεμβαδικά...PNG
Η διχοτόμος της \widehat{BAC} τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου ABC στο S.Τα M,N είναι τα μέσα των AB,AC

και η μεσοκάθετος του AB τέμνει την AS στο E. Να δειχθεί ότι είναι \left ( MES \right )=\left ( ENA \right ). Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Έστω P το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του AC με την AS. Από εδώ προκύπτει ότι (MES)=(NPS), οπότε αρκεί (AEN)=(NPS).

Αρκεί λοιπόν AE=PS.

Είναι προφανές ότι τα M,E,O και N,O,P είναι συνευθειακά. Επίσης, \angle OEP=\angle AEM=90^\circ-\theta=\angle EPO \Rightarrow OE=OP.

Αφού επίσης, OA=OS \Rightarrow \vartriangle AEO=\vartriangle POS, οπότε AE=PS και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1824
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισεμβαδικά και αυτά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Φεβ 10, 2020 12:36 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Φεβ 09, 2020 11:11 pm
Καλό βράδυ.
Ισεμβαδικά...PNG
Η διχοτόμος της \widehat{BAC} τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου ABC στο S.Τα M,N είναι τα μέσα των AB,AC

και η μεσοκάθετος του AB τέμνει την AS στο E. Να δειχθεί ότι είναι \left ( MES \right )=\left ( ENA \right ). Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Είναι (MEB)=(EMA)=(AEK)=m

Έστω b>c και SP \bot AB ,SQ \bot AC.Τότε, \triangle BSD= \triangle SQC και AP=AQ \Rightarrow c+x=b-x \Rightarrow x= \dfrac{b-c}{2} =KN

Είναι, EM//SP \Rightarrow (MES)=(MEP) κι επειδή

EM=EK \Rightarrow (EBP)=(EKN) \Rightarrow (EBP)+m=(EKN)+m \Rightarrow(EMP)=(EAN) =(MES)
Ισεμβαδικά.png
Ισεμβαδικά.png (29.2 KiB) Προβλήθηκε 211 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1258
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ισεμβαδικά και αυτά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Φεβ 22, 2020 12:11 pm

Καλημέρα. Ευχαριστώ τον Ορέστη και τον Μιχάλη για τις ωραίες λύσεις!
Μια ακόμη με χρήση του σχήματος
Ισεμβαδικά και αυτά ΙΙ . PNG.PNG
Ισεμβαδικά και αυτά ΙΙ . PNG.PNG (12.23 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές
Είναι \left ( AEC \right )=2\left ( ENA \right ) και \left ( BES \right )=\left ( BAS \right )-\left ( ABE \right )=2\left ( MAS \right )-2\left ( MAE \right )=2\left ( MES \right ).

Αρκεί να δείξουμε \left ( BES \right )=\left (AEC  \right ).Τα τρίγωνα BES,BAC είναι όμοια αφού \widehat{EBS}=\widehat{ABC} και \widehat{BSE}=\widehat{ACB}

Αν AE=BE=k τότε \dfrac{\left ( BES 
 \right )}{\left ( BAC \right )}=\dfrac{k^{2}}{c^{2}} και \dfrac{\left (AEC  \right )}{\left ( BAC \right )}=\dfrac{bk\eta \mu \theta }{bc\eta \mu 2\theta }=\dfrac{k}{2c\sigma \upsilon \nu \theta }.

Αρκεί \dfrac{k}{2c\sigma \upsilon \nu \theta }=\dfrac{k^{2}}{c^{2}} 
\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \theta =\dfrac{c/2}{k}=\dfrac{AM}{AE} που ισχύει. Φιλικά, Γιώργος.


Perantonis
Δημοσιεύσεις: 29
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 2:06 pm

Re: Ισεμβαδικά και αυτά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Perantonis » Τετ Φεβ 26, 2020 1:43 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Φεβ 09, 2020 11:11 pm
Καλό βράδυ.
Ισεμβαδικά...PNG
Η διχοτόμος της \widehat{BAC} τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου ABC στο S.Τα M,N είναι τα μέσα των AB,AC

και η μεσοκάθετος του AB τέμνει την AS στο E. Να δειχθεί ότι είναι \left ( MES \right )=\left ( ENA \right ). Σας ευχαριστώ, Γιώργος.


Φέρω \displaystyle S\Lambda κάθετη στη \displaystyle ME.

Τότε \displaystyle S\Lambda \parallel AB και \displaystyle {\rm A}\hat {\rm B}S = A\hat S\Lambda  = S\hat AC = \hat \theta

Επίσης \displaystyle S\hat {\rm A}{\rm O} = A\hat S{\rm O} = \hat \omega αφού το τρίγωνο \displaystyle {\rm A}{\rm O}S είναι ισοσκελές .

Άρα \displaystyle {\rm O}\hat {\rm A}{\rm N} = {\rm O}\hat S\Lambda  = \hat \theta  - \hat \omega και επειδή \displaystyle {\rm A}{\rm O} = {\rm O}S τα τρίγωνα

\displaystyle {\rm A}{\rm O}{\rm N},{\rm O}S\Lambda είναι ίσα , και \displaystyle {\rm A}{\rm N} = S\Lambda .

Είναι \displaystyle \left( {{\rm M}{\rm E}S} \right) = \frac{{ME.S\Lambda }}{2} = \frac{{{\rm E}{\rm K}.{\rm A}{\rm N}}}{2} = \left( {{\rm A}{\rm E}{\rm N}} \right)
Συνημμένα
Έγγραφο2.png
Έγγραφο2.png (99.48 KiB) Προβλήθηκε 65 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες