Συνθήκη Παραλληλίας

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2735
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Συνθήκη Παραλληλίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τετ Φεβ 12, 2020 12:01 pm

Να δειχθεί ότι αν η ευθεία που διέρχεται από το περίκεντρο O και το έγκεντρο I οξυγώνιου τριγώνου ABC είναι παράλληλη στην BC, τότε \cos B+\cos C=1.

Φιλικά,

Αχιλλέας



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Συνθήκη Παραλληλίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τετ Φεβ 12, 2020 12:28 pm

Είναι γνωστό ότι

\displaystyle{\cos A+\cos B+\cos C=1+\frac{r}{R},}

όπου r και R οι ακτίνες του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC.
Άρα, ισχύει:

\displaystyle{\cos B+\cos C=1\Longleftrightarrow \cos A=\frac{r}{R}\Longleftrightarrow R\cos A=r.}

Έστω M το μέσο της πλευράς BC και D το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με την πλευρά BC. Τότε, είναι ID=r και, επειδή το τρίγωνο ABC είναι οξυγώνιο, OM=R\cos A. Επομένως,

\displaystyle{\cos B+\cos C=1\Longleftrightarrow OM=ID\Longleftrightarrow OI \parallel BC.}


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9329
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συνθήκη Παραλληλίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Φεβ 12, 2020 5:27 pm

achilleas έγραψε:
Τετ Φεβ 12, 2020 12:01 pm
Να δειχθεί ότι αν η ευθεία που διέρχεται από το περίκεντρο O και το έγκεντρο I οξυγώνιου τριγώνου ABC είναι παράλληλη στην BC, τότε \cos B+\cos C=1.

Φιλικά,

Αχιλλέας
H AI τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο E και M είναι το μέσο της BC. Είναι \displaystyle \theta  = \frac{A}{2},\varphi  = \frac{{\widehat B - \widehat C}}{2}.
Συνθήκη παραλληλίας.png
Συνθήκη παραλληλίας.png (16.58 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές
\displaystyle \cos B + \cos C = 2\cos \frac{{B + C}}{2}\cos \frac{{B - C}}{2} = 2\sin \theta \cos \varphi  = 2\frac{{ME}}{{EC}} \cdot \frac{{OE}}{{IE}} = \frac{{2R \cdot ME}}{{EC \cdot EB}} = 1


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες