Ισότητα και διαφορά

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11354
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισότητα και διαφορά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 15, 2020 11:05 am

Ισότητα  και  διαφορά.png
Ισότητα και διαφορά.png (18.4 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές
Σε τεταρτοκύκλιο O\overset{\frown}{AB} είναι "εγγεγραμμένο" το τετράγωνο OPQT . Θεωρούμε σημείο S του \overset{\frown}{QB} ,

ώστε : \widehat{QTS}=45^0 . Ο κύκλος (Q,S,T) , τέμνει την OS στο σημείο C και την PC στο D .

α) Δείξτε ότι : TS=TC ... β) Υπολογίστε την διαφορά : \phi-\theta , δηλαδή την :  \widehat{DAQ}-\widehat{PDA} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ισότητα και διαφορά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Φεβ 16, 2020 12:40 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Φεβ 15, 2020 11:05 am
Ισότητα και διαφορά.pngΣε τεταρτοκύκλιο O\overset{\frown}{AB} είναι "εγγεγραμμένο" το τετράγωνο OPQT . Θεωρούμε σημείο S του \overset{\frown}{QB} ,

ώστε : \widehat{QTS}=45^0 . Ο κύκλος (Q,S,T) , τέμνει την OS στο σημείο C και την PC στο D .

α) Δείξτε ότι : TS=TC ... β) Υπολογίστε την διαφορά : \phi-\theta , δηλαδή την :  \widehat{DAQ}-\widehat{PDA} .
230.PNG
230.PNG (52.23 KiB) Προβλήθηκε 45 φορές
α)
Έστω L το συμμετρικό του Q ως προς το T ,το οποίο προφανώς θα ανήκει στον κύκλο (O,OA).Τα τρίγωνα \Delta LTS,\Delta TSO έχουν LT=LO,TS κοινή και \angle LTS=\angle OTS=135^{\circ} άρα είναι ίσα και LOS ισόπλευρο που δίνει \angle TSO=30^{\circ} \&\angle SOT=15^{\circ}.Επίσης \angle SCT=\angle SQT=\angle SQL=30^{\circ} και το ζητούμενο έπεται.
β) Αρχικά αν PQC' ισόπλευρο στο εσωτερικό του TQPO τότε προκύπτει εύκολα ότι \angle COT=\angle OTC=15^{\circ}\Leftrightarrow C\equiv C' άρα PQC ισόπλευρο.Το TQC θα είναι ισοσκελές οπότε εύκολα \angle PCT=135^{\circ}\Leftrightarrow \angle TQK=45^{\circ} δηλαδή O,K,Q συνευθειακά.
Οπότε από το ισοσκελές OAQ εύκολα βλέπουμε πως \angle QAO=67,5^{\circ} και έτσι :
\left\{\begin{matrix} & \angle KPO=\vartheta +\angle KAP & \\ & 67.5^{\circ}=\angle KAP+\varphi & \end{matrix}\right.\overset{\angle KPO=30^{\circ}}{\Rightarrow } \boxed{37.5=\varphi -\vartheta ^{\circ}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: KARKAR και 1 επισκέπτης