Ημιτετράγωνα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11364
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ημιτετράγωνα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Φεβ 16, 2020 9:28 pm

Ημιτετράγωνα.png
Ημιτετράγωνα.png (92.47 KiB) Προβλήθηκε 143 φορές
Στο τρίγωνο ABC είναι : AB=AC=b και BC=a . Σχεδιάζουμε εκτός του τριγώνου

τα ημιτετράγωνα BDC , CEA . Αν M το μέσο της AB , δείξτε ότι το τρίγωνο EMD είναι

επίσης ημιτετράγωνο και υπολογίστε το εμβαδόν του .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 668
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ημιτετράγωνα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Φεβ 16, 2020 9:53 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Φεβ 16, 2020 9:28 pm
Ημιτετράγωνα.pngΣτο τρίγωνο ABC είναι : AB=AC=b και BC=a . Σχεδιάζουμε εκτός του τριγώνου

τα ημιτετράγωνα BDC , CEA . Αν M το μέσο της AB , δείξτε ότι το τρίγωνο EMD είναι

επίσης ημιτετράγωνο και υπολογίστε το εμβαδόν του .
Με λίγο βαρύ πυροβολικό :lol: : Η στροφή D_{-90^{\circ}} στέλνει το B στο C ενώ η E_{-90^{\circ}} το C στο A.Η σύνθεση D_{-90^{\circ}}\circ E_{-90^{\circ}} θα είναι συμμετρία με κέντρο M άρα από τον τρόπο προσδιορισμού του κέντρου σύνθεσης στροφών το EMD είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .
Έστω N το μέσο του BC.Είναι AD=AN+ND=\sqrt{b^2-\dfrac{a^2}{4}}+\dfrac{a}{2}\Leftrightarrow AD^2=b^2+a\sqrt{b^2-\dfrac{a^2}{4}}
Με χρήση του θεωρήματος διαμέσων στο BDA έχουμε :
\left ( MDE \right )=\dfrac{MD^2}{2}=\dfrac{2\left ( DB^2+DA^2 \right )-AB^2}{8}=\dfrac{a^2+2\left ( b^2+a\sqrt{b^2-\dfrac{a^2}{4}} \right )-b^2}{8}=\boxed{\dfrac{a^2+b^2+a\sqrt{4b^2-a^2}}{8}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8959
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ημιτετράγωνα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Φεβ 17, 2020 10:12 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Φεβ 16, 2020 9:28 pm
Ημιτετράγωνα.pngΣτο τρίγωνο ABC είναι : AB=AC=b και BC=a . Σχεδιάζουμε εκτός του τριγώνου

τα ημιτετράγωνα BDC , CEA . Αν M το μέσο της AB , δείξτε ότι το τρίγωνο EMD είναι

επίσης ημιτετράγωνο και υπολογίστε το εμβαδόν του .
Το πρώτο ερώτημα προκύπτει από το θεώρημα του \displaystyle {\rm{Vecten}} (έχει αποδειχθεί πάμπολλες φορές στο :logo: )
Ημιτετράγωνα.png
Ημιτετράγωνα.png (14.06 KiB) Προβλήθηκε 77 φορές
\displaystyle D\widehat CE = 90^\circ  + \widehat C \Rightarrow \cos (D\widehat CE) =  - \sin C =  - \frac{{AN}}{b} =  - \frac{{\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{{2b}} και με ν. συνημιτόνων στο CED:

\displaystyle (EMD) = \frac{{D{E^2}}}{4} = \frac{1}{4}\left( {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{b^2}}}{2} + 2\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\frac{{b\sqrt 2 }}{2}\frac{{\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{{2b}}} \right) \Rightarrow \boxed{(EMD) = \frac{{{a^2} + {b^2} + a\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{8}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης