Καθετότητα για όσκαρ

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11364
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Καθετότητα για όσκαρ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Φεβ 18, 2020 8:04 pm

Καθετότητα  για  όσκαρ.png
Καθετότητα για όσκαρ.png (17.77 KiB) Προβλήθηκε 259 φορές
Οι κύκλοι (O,R) , (K,r) τέμνονται στα σημεία A,B . Από τυχόν σημείο S του (O) φέρω τις SA , SB ,

οι οποίες ξανατέμνουν τον (K) στα σημεία A' , B' αντίστοιχα . Δείξτε ότι : SO \perp A'B' .

Ερώτημα για έρευνα : Αν OK=d , υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος SA' .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3990
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Καθετότητα για όσκαρ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Φεβ 18, 2020 9:41 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Φεβ 18, 2020 8:04 pm
Καθετότητα για όσκαρ.pngΟι κύκλοι (O,R) , (K,r) τέμνονται στα σημεία A,B . Από τυχόν σημείο S του (O) φέρω τις SA , SB ,

οι οποίες ξανατέμνουν τον (K) στα σημεία A' , B' αντίστοιχα . Δείξτε ότι : SO \perp A'B' .

Ερώτημα για έρευνα : Αν OK=d , υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος SA' .
Κάτσε να πάρω εγώ το Όσκαρ :D

Αν OM,ON είναι οι κάθετες από το O στις χορδές SA,SB του κύκλου \left( O \right) προφανώς M,N τα μέσα τους αντίστοιχα και συνεπώς \dfrac{SM}{SN}=\dfrac{SA}{SB}:\left( 1 \right)
Από το θεώρημα των τεμνόμενων χορδών στον κύκλο \left( K \right)\Rightarrow S{A}'\cdot SA=S{B}'\cdot SB\Rightarrow \dfrac{SA}{SB}=\dfrac{S{B}'}{S{A}'}\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{SM}{SN}=\dfrac{S{B}'}{S{A}'}:\left( 2 \right)
Από τη \left( 2 \right) προκύπτει σύμφωνα με το http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/ ... tras.shtml ότι SO\bot {A}'{B}' και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Την διερεύνηση την αφήνω για άλλον και ας μοιραστώ το όσκαρ :lol:


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3990
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Καθετότητα για όσκαρ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Φεβ 18, 2020 9:50 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τρί Φεβ 18, 2020 9:41 pm
KARKAR έγραψε:
Τρί Φεβ 18, 2020 8:04 pm
Καθετότητα για όσκαρ.pngΟι κύκλοι (O,R) , (K,r) τέμνονται στα σημεία A,B . Από τυχόν σημείο S του (O) φέρω τις SA , SB ,

οι οποίες ξανατέμνουν τον (K) στα σημεία A' , B' αντίστοιχα . Δείξτε ότι : SO \perp A'B' .

Ερώτημα για έρευνα : Αν OK=d , υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος SA' .
Κάτσε να πάρω εγώ το Όσκαρ :D

Αν OM,ON είναι οι κάθετες από το O στις χορδές SA,SB του κύκλου \left( O \right) προφανώς M,N τα μέσα τους αντίστοιχα και συνεπώς \dfrac{SM}{SN}=\dfrac{SA}{SB}:\left( 1 \right)
Από το θεώρημα των τεμνόμενων χορδών στον κύκλο \left( K \right)\Rightarrow S{A}'\cdot SA=S{B}'\cdot SB\Rightarrow \dfrac{SA}{SB}=\dfrac{S{B}'}{S{A}'}\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{SM}{SN}=\dfrac{S{B}'}{S{A}'}:\left( 2 \right)
Από τη \left( 2 \right) προκύπτει σύμφωνα με το http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/ ... tras.shtml ότι SO\bot {A}'{B}' και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Την διερεύνηση την αφήνω για άλλον και ας μοιραστώ το όσκαρ :lol:
Βέβαια η απάντηση είναι και άμεση από το γενικευμένο θεώρημα του Nagel ;)


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7031
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Καθετότητα για όσκαρ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Φεβ 19, 2020 12:51 am

καθετότητα για όσκαρ.png
καθετότητα για όσκαρ.png (30.99 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές

Φέρνω την εφαπτομένη ευθεία \left( d \right) στο S του κύκλου \left( {O,R} \right).

\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} ( Υπό χορδής κι εφαπτομένης)

\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} ( εξωτερική εγγεγραμμένου τετράπλευρου)

Λόγω μεταβατικότητας : \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}} \Rightarrow \left( d \right)//A'B' . Τέλος .


Εφαρμογή 4 του παλιού σχολικού βιβλίου των Δ. Παπαμιχαήλ -Α. Σκιαδά έκδοση 1986 σελίδα 176.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1867
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Καθετότητα για όσκαρ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Φεβ 19, 2020 9:08 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Φεβ 18, 2020 8:04 pm
Καθετότητα για όσκαρ.pngΟι κύκλοι (O,R) , (K,r) τέμνονται στα σημεία A,B . Από τυχόν σημείο S του (O) φέρω τις SA , SB ,

οι οποίες ξανατέμνουν τον (K) στα σημεία A' , B' αντίστοιχα . Δείξτε ότι : SO \perp A'B' .

Ερώτημα για έρευνα : Αν OK=d , υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος SA' .
Καλημέρα

Απο το εγράψιμο τετράπλευρο A'ABB' είναι \hat{A}=\hat{SB'A'}=\omega

και στο κύκλο (O) \hat{SMB}=\omega Αρα το τετράπλευρο TB'BM

είναι εγράψιμο σε κύκλο και \hat{SBM}=90^{0}\Rightarrow \hat{BTM}=90^{0},OS\perp A'B'
Συνημμένα
Καθετότητα για Οσκαρ.png
Καθετότητα για Οσκαρ.png (88.59 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8959
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Καθετότητα για όσκαρ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Φεβ 19, 2020 10:32 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Φεβ 18, 2020 8:04 pm
Καθετότητα για όσκαρ.pngΟι κύκλοι (O,R) , (K,r) τέμνονται στα σημεία A,B . Από τυχόν σημείο S του (O) φέρω τις SA , SB ,

οι οποίες ξανατέμνουν τον (K) στα σημεία A' , B' αντίστοιχα . Δείξτε ότι : SO \perp A'B' .

Ερώτημα για έρευνα : Αν OK=d , υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος SA' .
Έχασα το Όσκαρ, αλλά κυνηγάω το Νόμπελ :lol:


Ερώτημα για έρευνα: \displaystyle {(SA')_{\max }} = 2d. Κρατάω το αποτέλεσμα του α) ερωτήματος.
Όσκαρ.png
Όσκαρ.png (22.39 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές
Οι κάθετες από τα A', B' στις SA, SB αντίστοιχα τέμνονται στο P. Φέρνω από το K παράλληλη στην OS που τέμνει

τις A'B', SP στα M, L αντίστοιχα. Είναι \displaystyle KL \bot A'B', άρα το M είναι μέσο του A'B' κι επειδή το SA'PB' είναι

εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου SP, το L θα είναι το κέντρο αυτού του κύκλου. Από το πρώτο ερώτημα είναι:

\displaystyle SP \bot AB \Rightarrow SP||OK, οπότε το OKLS είναι παραλληλόγραμμο. Αλλά, \displaystyle SA' \le SP \Leftrightarrow \boxed{ {(SA')_{\max }} = 2d}


Σημείωση: Στη θέση του μέγιστου οι SB, A'B είναι διάμετροι των κύκλων (O), (K) αντίστοιχα, οπότε \displaystyle OK|| = \frac{{SA'}}{2}.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7031
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Καθετότητα για όσκαρ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Φεβ 19, 2020 1:34 pm

Για το δεύτερο και ανεξάρτητα του πρώτου

Ας είναι ST = \lambda εφαπτόμενο τμήμα στον κύκλο \left( {K,r} \right) και SD = h το ύψος του \vartriangle SAB. Θέτω \boxed{SA' = y}.

Προφανώς : h \leqslant SA και \left\{ \begin{gathered} 
  {\lambda ^2} = |{R^2} - {r^2}| = |R - r|\left( {R + r} \right) = d\left( {R + r} \right) \hfill \\ 
  {\lambda ^2} = ySA \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Oskar_xa_xa_xa.png
Oskar_xa_xa_xa.png (23.52 KiB) Προβλήθηκε 97 φορές
Άρα : \boxed{y = \frac{{d\left( {R + r} \right)}}{{SA}}}

Αφού το κλάσμα \dfrac{{d\left( {R + r} \right)}}{{SA}} έχει θετικούς όρους και ο αριθμητής είναι σταθερός , θα γίνεται μέγιστο όταν ο παρανομαστής SA πάρει τη μικρότερη τιμή δηλαδή

\boxed{SA = h}. Τότε οι BS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BA' γίνονται διάμετροι των δύο κύκλων και \boxed{y// = 2d}.


Oskar_xa_xa_xa_ok.png
Oskar_xa_xa_xa_ok.png (23.14 KiB) Προβλήθηκε 97 φορές

Η λύση έγινε χωρίς να έχω δει τη σημείωση του φίλτατου Γιώργου και χωρίς να έχω διαβάσει τη λύση του ( είχα δει όμως το αποτέλεσμα ).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης