Ώρα εφαπτομένης 13

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 13

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Φεβ 21, 2020 1:15 pm

Ώρα εφαπτομένης  34.png
Ώρα εφαπτομένης 34.png (8.22 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές
Στο ορθογώνιο ABCD , φέραμε BS\perp AC . α) Δείξτε ότι : (BSC)=(DSC) ,

β) Αν : DS=DA , υπολογίστε την : \tan\widehat{ASD} .

Διόρθωση της εκφώνησης . :oops: . Εύλογες οι παρατηρήσεις στις επόμενες αναρτήσεις.
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Σάβ Φεβ 22, 2020 7:30 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1880
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ώρα εφαπτομένης 13

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Φεβ 21, 2020 6:17 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Φεβ 21, 2020 1:15 pm
Ώρα εφαπτομένης 34.pngΣτο ορθογώνιο ABCD , φέραμε BS\perp AC . Αν : (BSC)=(DSC) ,

υπολογίστε την : \tan\widehat{ASD} .


Εστω

AB=a,BC=b,\hat{DSJ}=\sigma ,\hat{JSA}=\omega ,\hat{\theta }=\hat{\sigma }+
\hat{\omega }

,LJ//AB, IK//BC,SL=\upsilon _{1},SI=\upsilon _{2} .(BSC)=(DSC)

\Rightarrow

  b\upsilon_{1}=a\upsilon _{2},(1), tan\sigma =\dfrac{\upsilon _{2}}{DI}=\dfrac{b\upsilon _{1}}{a(a-\upsilon _{1})}, 

tan\omega =\dfrac{\upsilon _{1}}{b-LC}=\dfrac{\upsilon _{1}a}{b(a-\upsilon _{1})}, (3)

Απο μετρικές σχέσεις στο τρίγωνο

SCB,\upsilon _{1}^{2}=\upsilon _{2}.(LB)



    \Rightarrow \upsilon _{1}^{2}=\upsilon _{2}(B-\upsilon _{2})\Rightarrow \upsilon _{1}=\dfrac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}},(4)

,,λόγω της σχέσης (1)

Συνεπώς
tan\hat{\sigma }=\dfrac{b^{3}}{a^{3}},tan\hat{\omega }=\dfrac{b}{a}, tan\hat{\theta }=tan(\hat{\omega }+\hat{\sigma })=\dfrac{ab}{a^{2}-b^{2}}
Συνημμένα
Ωρα εφαπτομένης 13.png
Ωρα εφαπτομένης 13.png (38.06 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7138
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 13

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Φεβ 21, 2020 9:37 pm

Ωρα εφαπτομένης 13.png
Ωρα εφαπτομένης 13.png (13.89 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές

Ας είναι DM το ύψος του ισοσκελούς τριγώνου DAS.

Προφανώς AM = MS = SC\left( { = x} \right). Θέτω και DM = y.

\vartriangle ABC \approx \vartriangle MDA \Rightarrow \boxed{\frac{y}{x} = \frac{a}{b} = \tan \theta }\,\,\,\left( 1 \right) και \boxed{\frac{x}{b} = \frac{b}{{3x}} \Leftrightarrow 3{x^2} = {b^2}}\,\,\,\left( 2 \right)

Αλλά 3x = AC \Rightarrow 9{x^2} = {a^2} + {b^2}\, και λόγω της \left( 2 \right) γίνεται: 2{b^2} = {a^2}

Και άρα η \left( 1 \right) δίδει : \boxed{\tan \theta  = \sqrt 2 }


kfd
Δημοσιεύσεις: 110
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Ώρα εφαπτομένης 13

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Παρ Φεβ 21, 2020 10:36 pm

Γιατί χρειάζεται η ισότητα των εμβαδών στην εκφώνηση, αφού ισχύει (ΑDS)=(ABS);


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1811
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 13

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Φεβ 21, 2020 11:05 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Φεβ 21, 2020 1:15 pm
Ώρα εφαπτομένης 34.pngΣτο ορθογώνιο ABCD , φέραμε BS\perp AC . Αν : (BSC)=(DSC) ,

και DS=DA , υπολογίστε την : \tan\widehat{ASD} .

Συμπλήρωση δεδομένου ( DS=DA ) .

 DA//CB \Rightarrow  \dfrac{DA}{CM}= \dfrac{DS}{SM}  \Rightarrow SM=CM κι επειδή BS \bot CS \Rightarrow CM=MB

Έτσι,S είναι κ.βάρους του \triangle DCB \Rightarrow  \dfrac{AS}{SC}=2 \Rightarrow ( \dfrac{a}{b})^2=2 \Rightarrow  \dfrac{a}{b} = \sqrt{2} =tan \theta
ώρα εφαπτομένης 13.png
ώρα εφαπτομένης 13.png (69.09 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9204
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 13

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 22, 2020 11:17 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Φεβ 21, 2020 1:15 pm
Ώρα εφαπτομένης 34.pngΣτο ορθογώνιο ABCD , φέραμε BS\perp AC . α) Δείξτε ότι : (BSC)=(DSC) ,

β) Αν : DS=DA , υπολογίστε την : \tan\widehat{ASD} .

Διόρθωση της εκφώνησης . :oops: . Εύλογες οι παρατηρήσεις στις επόμενες αναρτήσεις.
α) Φέρνω \displaystyle DM \bot AC. Επειδή \displaystyle DM = BS \Leftrightarrow (ADS) = (ABS) \Rightarrow \boxed{(BSC)=(DSC)}
Ώρα εφαπτομένης.13.png
Ώρα εφαπτομένης.13.png (14.45 KiB) Προβλήθηκε 84 φορές
β) Εύκολα όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες με \theta, M είναι μέσο του AS και AM=SC.

\displaystyle {\tan ^2}\theta  = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{AS}}{{SC}} = \frac{{2AM}}{{SC}} = 2 \Leftrightarrow \boxed{\tan \theta=\sqrt 2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες