Συναντίληψη

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Συναντίληψη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Φεβ 27, 2020 9:55 pm

Συναντίληψη.png
Συναντίληψη.png (12.93 KiB) Προβλήθηκε 141 φορές
Στις πλευρές AB , BC , CD , DA , ορθογωνίου ABCD , θεωρούμε σημεία K , L , M , N αντίστοιχα ,

με μοναδική απαίτηση να είναι NL \parallel AB . Φέρουμε : AP\perp LM ,NQ\perp MK  , DT\perp KL  .

Δείξτε ότι τα τμήματα AP , NQ , DT συντρέχουν ( ας πούμε στο σημείο S ) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4003
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συναντίληψη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Φεβ 28, 2020 12:53 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 27, 2020 9:55 pm
Συναντίληψη.pngΣτις πλευρές AB , BC , CD , DA , ορθογωνίου ABCD , θεωρούμε σημεία K , L , M , N αντίστοιχα ,

με μοναδική απαίτηση να είναι NL \parallel AB . Φέρουμε : AP\perp LM ,NQ\perp MK  , DT\perp KL  .

Δείξτε ότι τα τμήματα AP , NQ , DT συντρέχουν ( ας πούμε στο σημείο S ) .
Συναντίληψη.png
Συναντίληψη.png (25.56 KiB) Προβλήθηκε 103 φορές
Έστω S το σημείο τομής των εκ των A,D στις LM,LK αντίστοιχα και θα δείξουμε ως ισοδύναμο πρόβλημα ότι NS\bot KM

Έστω F,Q οι ορθές προβολές του N στις SD,SA αντίστοιχα. Προφανώς οι NF,NQ είναι ίσες με τις ορθές προβολές του SN στις LK,LM αντίστοιχα

Τα ορθογώνια τρίγωνα \vartriangle AQN,\vartriangle MCL είναι όμοια αφού προφανώς (εκτός των ορθών τους γωνιών) είναι και \angle NAQ=\angle LMC (οξείες με κάθετες πλευρές του ίδιου προσανατολισμού), άρα ισχύει : \dfrac{NQ}{NA}=\dfrac{LC}{LM}\Rightarrow NQ\cdot LM=NA\cdot LC:\left( 1 \right)
Ομοίως από τα όμοια τρίγωνα \vartriangle NFD,\vartriangle LBD προκύπτει ότι: \dfrac{NF}{ND}=\dfrac{LB}{LK}\Rightarrow NF\cdot LK=ND\cdot LB:\left( 2 \right)
Από τις σχέσεις \left( 1 \right),\left( 2 \right) και με NA\cdot LC=ND\cdot LB (όπως εύκολα προκύπτει από τα ορθογώνια ABLN,LCDN θα έχουμε ότι: NQ\cdot LM=NF\cdot LK\Rightarrow \dfrac{NQ}{NF}=\dfrac{LK}{LM}:\left( 3 \right)
Από τη σχέση \left( 3 \right) σύμφωνα με το https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry ... tras.shtml προκύπτει ότι NS\bot MK και το ισοδύναμο πρόβλημα έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης