Γεωμετρικός τόπος και μέσος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9204
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Γεωμετρικός τόπος και μέσος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 03, 2020 12:54 pm

Γεωμετρικός μέσος και τόπος.png
Γεωμετρικός μέσος και τόπος.png (7.67 KiB) Προβλήθηκε 160 φορές
Έστω M εσωτερικό σημείο ισοσκελούς τριγώνου ABC (AB=AC) και D, E, F οι προβολές του στις BC,

AC, AB αντίστοιχα. Αν MD είναι ο γεωμετρικός μέσος των ME, MF να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του M.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1126
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Γεωμετρικός τόπος και μέσος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Μαρ 04, 2020 12:11 am

george visvikis έγραψε:
Τρί Μαρ 03, 2020 12:54 pm
Γεωμετρικός μέσος και τόπος.png
Έστω M εσωτερικό σημείο ισοσκελούς τριγώνου ABC (AB=AC) και D, E, F οι προβολές του στις BC,

AC, AB αντίστοιχα. Αν MD είναι ο γεωμετρικός μέσος των ME, MF να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του M.
geometrikos_topos_kai_mesos.png
geometrikos_topos_kai_mesos.png (7.84 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές

Τα τετράπλευρα AFME, BFMD και CDME είναι εγράψιμα και εφόσον στο τρίγωνό μας \angle B = \angle C θα έχουμε και \angle DMF = \angle DME.

Η σχέση MD^2=ME \cdot ME που μας δίνεται γράφεται ισοδύναμα \dfrac{ME}{MD} = \dfrac{MD}{MF} και λόγω της παραπάνω ισότητας γωνιών προκύπτει, ότι τα τρίγωνα MED και MDF είναι όμοια. Για ευκολία στο γράψιμο συμβολίζoυμε με x,y δυο από τις γωνίες αυτών των τριγώνων όπως στο σχήμα παραπάνω. Καθώς και τις ίσες προς αυτές λόγω των εγράψιμων τετραπλέυρων BFMD και CDME.

Εξετάζουμε το εμβαδόν του τριγώνου MBC μέσο δυο διαφορετικών σχέσεων

\displaystyle{\dfrac{1}{2} \sin \angle BMC \cdot MB \cdot MC = \dfrac{1}{2} BC \cdot MD \Rightarrow \sin \angle BMC = \dfrac{BC \cdot MD}{MB \cdot MC}= \dfrac{(BD+DC)MD}{MB \cdot MC} = }

\displaystyle{= \dfrac{BD \cdot MD}{MB \cdot MC}+\dfrac{DC \cdot MD}{MB \cdot MC} =\cos x \cdot \sin y + \cos y \cdot \sin x = \sin (x+y) = const.}

Άρα το τμήμα BC φαίνεται υπό σταθερή γωνία από το M. Επομένως το σημείο M κινείται σε τόξο κύκλου. Επειδή το έγκεντρo I επαληθεύει τις συνθήκες του προβλήματος το κομμάτι του τόξου, είναι το τόξο BIC του περιγεγγραμένου κύκλου του τριγώνου BCI.

Edit: Της νύχτας τα καμώματα...προφανώς τα τελευταία με τους λόγους και τα ημίτονα δεν χρειάζονται, κάτι άλλο θα σκεφτόμουν :D .


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5418
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Γεωμετρικός τόπος και μέσος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Μαρ 04, 2020 3:31 pm

Επίσης και μόνο για λόγους πλουραλισμού παίρνουμε:

Από τα όμοια τρίγωνα που ανέφερε στην όμορφη λύση του ο κ. Κουτσουρίδης και από τα εγγράψιμα τετράπλευρα MDCE,\quad MFBD
προκύπτει η ισότητα \angle MCB = \angle MBA.
Άρα ο περιγεγραμμένος στο τρίγωνο MBC κύκλος εφάπτεται της σταθερής AB στο σταθερό σημείο σημείο B οπότε είναι μοναδικός ………


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης