Ευλόγως

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ευλόγως

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μαρ 03, 2020 7:27 pm

Ευλόγως.png
Ευλόγως.png (8.7 KiB) Προβλήθηκε 176 φορές
Στο ορθογώνιο ABCD είναι : \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{4} . Το S είναι σημείο της DC , ώστε : \dfrac{DS}{SC}=\dfrac{1}{3} .

Η AS τέμνει τον περίκυκλο του ορθογωνίου στο σημείο T . Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{TD}{TC} .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1811
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ευλόγως

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Μαρ 03, 2020 10:17 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Μαρ 03, 2020 7:27 pm
Ευλόγως.pngΣτο ορθογώνιο ABCD είναι : \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{4} . Το S είναι σημείο της DC , ώστε : \dfrac{DS}{SC}=\dfrac{1}{3} .

Η AS τέμνει τον περίκυκλο του ορθογωνίου στο σημείο T . Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{TD}{TC} .

sin \omega = \dfrac{b}{DB}= \dfrac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} }= \dfrac{b}{a}  \dfrac{1}{ \sqrt{1+( \dfrac{b}{a} )^2} }= \dfrac{3}{4}  .  \dfrac{4}{5}= \dfrac{3}{5}

 \dfrac{(TDS)}{(TSC)}= \dfrac{DS}{SC}= \dfrac{1}{3} \Rightarrow  \dfrac{TD . TS . sin \omega }{TC . TS . sin90^0}= \dfrac{1}{3}  \Rightarrow  \dfrac{TD}{TC}= \dfrac{5}{9}
Ευλόγως.png
Ευλόγως.png (8.66 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4597
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ευλόγως

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Μαρ 03, 2020 10:38 pm

Καλησπέρα σε όλους. Μόλις βλέπω ότι έχω πιο πολυλογάδικη λύση από αυτή του Μιχάλη, αλλά ... μην πάει χαμένη αφού την πληκτρολόγησα.

03-03-2020 Γεωμετρία.jpg
03-03-2020 Γεωμετρία.jpg (33.45 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές

Έστω AB = a, BC = b. Είναι  \displaystyle b = \frac{{3a}}{4} και  \displaystyle SC = \frac{{3a}}{4} = b,\;DS = \frac{a}{4} = \frac{b}{3} .

Είναι  \displaystyle \widehat {{\rm A}{\rm T}C} = 90^\circ (εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο).

Στο TSC είναι  \displaystyle TC = b\sigma \upsilon \nu \omega

Στο DTA είναι  \displaystyle DT = \frac{{\eta \mu \omega }}{{\eta \mu \varphi }} \cdot b , οπότε  \displaystyle \frac{{DT}}{{TC}} = \frac{{\varepsilon \varphi \omega }}{{\eta \mu \varphi }} .

Στο DCA είναι  \displaystyle \eta \mu \varphi  = \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + {a^2}} }} = \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + \frac{{16{b^2}}}{9}} }} = \frac{3}{5}

Στο DSA είναι  \displaystyle \varepsilon \varphi \omega  = \frac{{DS}}{b} = \frac{{\frac{b}{3}}}{b} = \frac{1}{3}

Άρα  \displaystyle \frac{{DT}}{{TC}} = \frac{{\varepsilon \varphi \omega }}{{\eta \mu \varphi }} = \frac{5}{9} .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9204
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ευλόγως

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μαρ 04, 2020 8:59 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Μαρ 03, 2020 7:27 pm
Ευλόγως.pngΣτο ορθογώνιο ABCD είναι : \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{4} . Το S είναι σημείο της DC , ώστε : \dfrac{DS}{SC}=\dfrac{1}{3} .

Η AS τέμνει τον περίκυκλο του ορθογωνίου στο σημείο T . Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{TD}{TC} .
Ευλόγως.Κ.png
Ευλόγως.Κ.png (17.15 KiB) Προβλήθηκε 100 φορές
Είναι \displaystyle D\widehat TB = A\widehat TC = 90^\circ  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
DT = BD\sin \varphi \\ 
\\ 
TC = AC\sin \omega  
\end{array} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{DT}}{{TC}} = \frac{{\sin \varphi }}{{\sin \omega }}}

\displaystyle \tan \varphi  = \frac{{DS}}{{DA}} = \frac{1}{3}, απ' όπου παίρνω \boxed{\sin \varphi  = \frac{1}{{\sqrt {10} }}} και \displaystyle \tan (\varphi  + \omega ) = \frac{a}{b} = \frac{4}{3} \Rightarrow

\displaystyle \tan \omega  = \frac{{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{{1 + \frac{4}{9}}} = \frac{9}{{13}}, απ' όπου \boxed{\sin \omega  = \frac{9}{{5\sqrt {10} }}} άρα \boxed{\frac{{DT}}{{TC}} = \frac{5}{9}}



Χρησιμοποιήθηκε ο τύπος \boxed{{\sin ^2}x = \frac{{{{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9204
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ευλόγως

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μαρ 04, 2020 10:56 am

Και μία, αφιερωμένη στον Γιώργο Ρίζο. Για λόγους ευκολίας έχω πάρει τις συντεταγμένες που φαίνονται στο σχήμα.
Ευλόγως.Κ.b.png
Ευλόγως.Κ.b.png (17.07 KiB) Προβλήθηκε 84 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
AS:y = 3x + 9\\ 
\\ 
{x^2} + {y^2} = 25 
\end{array} \right. \Rightarrow \boxed{T\left( { - \frac{7}{5},\frac{{24}}{5}} \right)} Άρα, \displaystyle \overrightarrow {DT}  = \left( {\frac{{13}}{5},\frac{9}{5}} \right),\overrightarrow {TC}  = \left( {\frac{{27}}{5},\frac{9}{5}} \right)

\displaystyle \frac{{TD}}{{TC}} = \frac{{\sqrt {{{13}^2} + {9^2}} }}{{\sqrt {{{27}^2} + {9^2}} }} = \sqrt {\frac{{250}}{{810}}}  \Leftrightarrow \boxed{\frac{{TD}}{{TC}} = \frac{5}{9}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7138
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ευλόγως

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μαρ 04, 2020 11:42 am

Επειδή ζητείται λόγος δεν επηρεάζεται το αποτέλεσμα αν επιλέξω AB = 4\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AD = 3.

Από \vartriangle TDC \approx \vartriangle DSA έχω : \dfrac{{TS}}{{DS}} = \dfrac{{SC}}{{SA}} = \dfrac{{TC}}{{DA}} \Rightarrow a = \dfrac{3}{b} = \dfrac{y}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  ab = 3 \hfill \\ 
  \boxed{by = 9} \hfill \\ 
  y = 3a \hfill \\  
\end{gathered}  \right.\,\,\,\left( M \right)
Ευλόγως_oritzin.png
Ευλόγως_oritzin.png (25.01 KiB) Προβλήθηκε 76 φορές

Από το Θ. Πτολεμαίου έχω :

5x + 3y = 4\left( {a + b} \right) \Rightarrow 5bx + 3by = 4\left( {ab + {b^2}} \right) \Rightarrow 5bx + 27 = 4\left( {3 + 10} \right) \Rightarrow \boxed{bx = 5}

Από τη δεύτερη των \left( M \right) και την προηγούμενη έχω: \boxed{\frac{x}{y} = \frac{5}{9}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9204
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ευλόγως

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μαρ 04, 2020 12:19 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Μαρ 03, 2020 7:27 pm
Ευλόγως.pngΣτο ορθογώνιο ABCD είναι : \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{4} . Το S είναι σημείο της DC , ώστε : \dfrac{DS}{SC}=\dfrac{1}{3} .

Η AS τέμνει τον περίκυκλο του ορθογωνίου στο σημείο T . Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{TD}{TC} .
Και μία μόνο με όμοια τρίγωνα. Είναι \displaystyle DS = \frac{a}{4},AD = CS = \frac{{3a}}{4},AC = \frac{{5a}}{4}
Ευλόγως.Κ.c.png
Ευλόγως.Κ.c.png (14.09 KiB) Προβλήθηκε 70 φορές
Από την ομοιότητα των τριγώνων SDT, SCA και SAD, SCT παίρνω διαδοχικά:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\dfrac{{DT}}{{AC}} = \dfrac{{DS}}{{AS}} \Leftrightarrow DT = \dfrac{{5{a^2}}}{{16AS}}\\ 
\\ 
\dfrac{{TC}}{{AD}} = \dfrac{{SC}}{{AS}} \Leftrightarrow TC = \dfrac{{9{a^2}}}{{16AS}} 
\end{array} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{DT}{TC}=\frac{5}{9}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης