Ώρα εφαπτομένης 15

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 15

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μαρ 07, 2020 7:47 am

Ώρα  εφαπτομένης  15.png
Ώρα εφαπτομένης 15.png (14.11 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές
Ισοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC) είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) . Η μεσοκάθετη

της AB τέμνει τον κύκλο στο σημείο T και το εντός του κύκλου ημικύκλιο διαμέτρου AB ,

στο σημείο S . Αν MT=OS , υπολογίστε την : \tan\theta



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9204
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 15

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 07, 2020 8:53 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 07, 2020 7:47 am
Ώρα εφαπτομένης 15.pngΙσοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC) είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) . Η μεσοκάθετη

της AB τέμνει τον κύκλο στο σημείο T και το εντός του κύκλου ημικύκλιο διαμέτρου AB ,

στο σημείο S . Αν MT=OS , υπολογίστε την : \tan\theta
AB=AC=b και MT=OS=x.
Εφ.15.png
Εφ.15.png (18.73 KiB) Προβλήθηκε 152 φορές
Είναι \displaystyle A\widehat OT = \theta  = 2T\widehat AM και \displaystyle \tan \theta  = \frac{b}{{2OM}} = \frac{b}{{b + 2x}},\tan \frac{\theta }{2} = \frac{x}{{AM}} = \frac{{2x}}{b}

\displaystyle \tan \theta  = \dfrac{{2\tan \dfrac{\theta }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\dfrac{\theta }{2}}} \Leftrightarrow \dfrac{b}{{b + 2x}} = \dfrac{{\dfrac{{4x}}{b}}}{{1 - \dfrac{{4{x^2}}}{{{b^2}}}}} \Leftrightarrow \boxed{b = 6x} οπότε \boxed{\tan \theta  = \frac{3}{4}}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4597
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ώρα εφαπτομένης 15

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Μαρ 07, 2020 3:10 pm

Καλησπέρα σε όλους. Κάτι παρόμοιο με τον Γιώργο.

07-03-2020 Γεωμετρία.jpg
07-03-2020 Γεωμετρία.jpg (39.94 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές


Έστω r=1 η ακτίνα του κύκλου.

Είναι  \displaystyle \widehat {{\rm B}{\rm O}{\rm A}} = 2\theta , (σχέση εγγεγραμμένης επίκεντρης), οπότε στο BMO είναι  \displaystyle \varepsilon \varphi \theta  = \frac{{{\rm B}{\rm M}}}{{{\rm M}{\rm O}}} .

Έστω SO = TM=x και BM = MS = y, οπότε MO=x+y.

Επίσης  \displaystyle TO = 1 \Leftrightarrow 2x + y = 1 (1) και  \displaystyle B{M^2} + M{O^2} = 1 \Leftrightarrow {y^2} + {\left( {x + y} \right)^2} = 1 (2)

Από (1) και (2) είναι  \displaystyle y = \frac{3}{5} άρα  \displaystyle x = \frac{1}{5} επομένως  \displaystyle \varepsilon \varphi \theta  = \frac{y}{{x + y}} = \frac{3}{4} .


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1811
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 15

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Μαρ 07, 2020 10:15 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 07, 2020 7:47 am
Ώρα εφαπτομένης 15.pngΙσοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC) είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) . Η μεσοκάθετη

της AB τέμνει τον κύκλο στο σημείο T και το εντός του κύκλου ημικύκλιο διαμέτρου AB ,

στο σημείο S . Αν MT=OS , υπολογίστε την : \tan\theta
Είναι  AT^2=2Rx και  AM=MD=MS=R-2x.Με Π.Θ στο

\triangle ATM \Rightarrow (R-2x)^2+x^2=2Rx \Rightarrow 5x^2-6Rx+R^2=0 \Rightarrow x= \dfrac{R}{5}

Έτσι OM= \dfrac{4R}{5} και AM= \dfrac{3R}{5}  \Rightarrow tan \theta = \dfrac{AM}{OM} = \dfrac{3}{4}
Ώρα εφαπτομένης 15.png
Ώρα εφαπτομένης 15.png (28.04 KiB) Προβλήθηκε 94 φορές


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1067
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 15

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Κυρ Μαρ 08, 2020 12:05 am

efaptomeni15.png
efaptomeni15.png (20.8 KiB) Προβλήθηκε 66 φορές
Έστω r και R οι ακτίνες του ημικυκλίου (M,MA) και του κύκλου (O, OA).

Τότε OA=OT=MS+2x=r+2x και εφαρμόζοντας Π.Θ στο τρίγωνο OMA έχουμε

MO^2+MA^2=OA^2 ή (r+x)^2+r^2=(r+2x)^2 απ’ όπου προκύπτει ισοδύναμα η εξίσωση 3x^2+2rx-r^2 η οπoία δίνει

x=\displaystyle \frac{r}{3}

Είναι όμως \displaystyle tanC=tan(AOM)=\frac{AM}{MO}= \frac{r}{r+\displaystyle\frac{r}{3}}=\frac{3}{4}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης