Σταθερή ποσότητα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11626
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σταθερή ποσότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μαρ 14, 2020 9:11 pm

Σταθερή  ποσότητα.png
Σταθερή ποσότητα.png (10.95 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές
Ονομάζουμε B' , C' τις προβολές των κορυφών B , C ισοπλεύρου τριγώνου ABC ,

πλευράς a , προς ευθεία διερχόμενη από την κορυφή A και εσωτερική της γωνίας \hat{A} .

Υπολογίστε την παράσταση : BB'^2+CC'^2+BB'\cdot CC'



Λέξεις Κλειδιά:
p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1074
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Σταθερή ποσότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Κυρ Μαρ 15, 2020 2:01 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 14, 2020 9:11 pm
Σταθερή ποσότητα.pngΟνομάζουμε B' , C' τις προβολές των κορυφών B , C ισοπλεύρου τριγώνου ABC ,

πλευράς a , προς ευθεία διερχόμενη από την κορυφή A και εσωτερική της γωνίας \hat{A} .

Υπολογίστε την παράσταση : BB'^2+CC'^2+BB'\cdot CC'
Σταθερή παράσταση.png
Σταθερή παράσταση.png (39.52 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές

Στρέφω το τρίγωνο AB’B κατά την θετική φορά κατά 60^0. Τότε BB’=CK. Συνεπώς

BB’^2+CC’^2+BB’ \cdot CC’=CK^2+CC’^2+CK \cdot CC’= CK^2+CC’^2-2 CK \cdot CC’ (-1/2)=

CK^2+CC’^2-2 CK \cdot CC’ (-1/2)= CK^2+CC’^2-2 CK \cdot CC’ cos(120^0)=C’K^2

(Νόμος συνημιτόνων στο τρίγωνο C’CK).

Αρκεί να δείξω ότι C’K=ct

Πράγματι το τετράπλευρο AC’CK είναι εγγράψιμο (\angle C’=\angle K=90^0) συνεπώς C’O=OK=a/2 (όπου a

πλευρά του τριγώνου ABC) και \angle C’OK=2\, \angle C’AK=120^0.

Άρα C’K = ct ως πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνος a/2.

Επομένως για την σταθερή ποσότητα C’K^2 ισχύει C’K^2 =(\lambda  _3 \cdot \sqrt{3})^2= \frac{3a^2}{4}
τελευταία επεξεργασία από p_gianno σε Κυρ Μαρ 15, 2020 8:23 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1259
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Σταθερή ποσότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Μαρ 15, 2020 2:48 am

Καλή Κυριακή.
Μετά την ωραία λύση του Παναγιώτη , μια βατή τριγωνομετρική διαδρομή
Σταθερή ποσότητα.PNG
Σταθερή ποσότητα.PNG (8.47 KiB) Προβλήθηκε 332 φορές
Αν \widehat{BAB'}=x τότε \widehat{CAC'}=\dfrac{\pi }{3}-x οπότε BB'=asinx...CC'=asin\left ( \dfrac{\pi }{3}-x \right ) =\dfrac{a}{2}\left ( \sqrt{3}cosx-sinx \right ).

Μετά τις πράξεις η εν λόγω ποσότητα γίνεται \dfrac{a^{2}}{4}(3sin^{2}x+3cos^{2}x) =\dfrac{3a^{2}}{4} δηλαδή σταθερή.

Παρατηρούμε ότι το τρίγωνο KOC' της .. προηγούμενης ανάρτησης είναι ίσο με το τρίγωνο AOM άρα  C'K^{2}= AM^{2}=\dfrac{3a^{2}}{4}

Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4007
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Σταθερή ποσότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Μαρ 15, 2020 3:11 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 14, 2020 9:11 pm
Σταθερή ποσότητα.pngΟνομάζουμε B' , C' τις προβολές των κορυφών B , C ισοπλεύρου τριγώνου ABC ,

πλευράς a , προς ευθεία διερχόμενη από την κορυφή A και εσωτερική της γωνίας \hat{A} .

Υπολογίστε την παράσταση : BB'^2+CC'^2+BB'\cdot CC'
Αν θεωρήσουμε S το σημείο τομής της ευθείας με τον περίκυκλο του ισοπλευρου τριγώνου τότε το διπλάσιο της παράστασης που δίνεται ανάγεται σε πολλαπλάσιο του αθροίσματος των τετραγώνων των αποςταςεων του S απο τις κορυφές του τριγώνου που ειναι σταθερό ( γνωστές προτασεις ( θεώρημα διαμέσου ))


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9354
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σταθερή ποσότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μαρ 15, 2020 9:38 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 14, 2020 9:11 pm
Σταθερή ποσότητα.pngΟνομάζουμε B' , C' τις προβολές των κορυφών B , C ισοπλεύρου τριγώνου ABC ,

πλευράς a , προς ευθεία διερχόμενη από την κορυφή A και εσωτερική της γωνίας \hat{A} .

Υπολογίστε την παράσταση : BB'^2+CC'^2+BB'\cdot CC'
Θέτω CC'=x, BB'=y. Με \displaystyle {\rm{Stewart}} στο ABC παίρνω:
Σταθερή ποσότητα.png
Σταθερή ποσότητα.png (10.73 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές
\displaystyle A{E^2} = {a^2} - BE \cdot EC = {(BE + EC)^2} - BE \cdot EC \Leftrightarrow \boxed{A{E^2} = B{E^2} + E{C^2} + BE \cdot EC} (1)

\displaystyle \frac{y}{2}AE = (ABE) = \frac{{BE}}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \boxed{y = \frac{{BEa\sqrt 3 }}{{2AE}}} και ομοίως \boxed{x = \frac{{ECa\sqrt 3 }}{{2AE}}}

\displaystyle {x^2} + {y^2} + xy = \frac{{3{a^2}}}{4}\left( {\frac{{B{E^2} + E{C^2} + BE \cdot EC}}{{A{E^2}}}} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \boxed{x^2+y^2+xy=\frac{3a^2}{4}}


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1074
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Σταθερή ποσότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Κυρ Μαρ 15, 2020 10:40 am

σταθερή ποσότητα.png
σταθερή ποσότητα.png (43.81 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές
Άλλη μία προσέγγιση.

Έστω a η πλευρά του ισοπλεύρου και E,D μέσα των AB, AC αντιστοίχως.

Θεωρώ τους κύκλους (E,a/2) και (D,a/2) και φέρω τo ύψος BD.

Είναι CC’=B’D (ως χορδές ίσων τόξων ίσων κύκλων στα οποία βαίνει η γωνία C’AC).

Επειδή BB’DA εγγράψιμο είναι \angle BB’D=180^0-\angle BAC=120^0

Εφαρμόζουμε νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο BB’D και έχουμε

BB’^2+B’D^2-2 BB’ \cdot B’D \cdot (-1/2)=BD^2

BB’^2+CC’^2+BB’\cdot CC’ =BD^2 = (\frac{a \sqrt{3}}{2})^2


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1829
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Σταθερή ποσότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Μαρ 15, 2020 8:24 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 14, 2020 9:11 pm
Σταθερή ποσότητα.pngΟνομάζουμε B' , C' τις προβολές των κορυφών B , C ισοπλεύρου τριγώνου ABC ,

πλευράς a , προς ευθεία διερχόμενη από την κορυφή A και εσωτερική της γωνίας \hat{A} .

Υπολογίστε την παράσταση : BB'^2+CC'^2+BB'\cdot CC'

Έστω BB'=x ,CC'=y. Λόγω των εγγράψιμων ABB'M,AC'MC είναι, \angle C'B'M= \angle B'C'M=60^0 κι

έστω  B'C'=C'M=MB'= \omega

Με θ.διαμέσου στο τρίωνο BCC' έχουμε

 BC'^2+y^2=2 \omega ^2+  \dfrac{a^2}{2} \Rightarrow x^2+ \omega ^2+y^2=2 \omega ^2+\dfrac{a^2}{2}  \Rightarrow3 x^2+3y^2= 3\omega ^2+\dfrac{3a^2}{2}  (1)

Σχηματίζοντας το παραλ/μμο  BC'CN είναι  B'N=|y-x| κι απο το τρίγωνο  C'B'N έχουμε

 (y-x)^2=3 \omega ^2 \Rightarrow x^2+y^2-2xy=3 \omega ^2  (2).Από  (1), (2) έχουμε  x^2+y^2+xy= \dfrac{3a^2}{4}
Σταθερή ποσότητα.png
Σταθερή ποσότητα.png (24.14 KiB) Προβλήθηκε 245 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7203
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σταθερή ποσότητα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μαρ 15, 2020 10:51 pm

Γράφω τον περιγεγραμμένο κύκλο: \left( {O,R} \right) του \vartriangle ABC κι έστω S ο νότιος πόλος ,

M το μέσο του BC και T το άλλο σημείο τομής της τέμνουσας \overline {AC'PB'} με το κύκλο.

Θέτω BB' = x\,,\,\,CC' = y\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,a\,\,\,\,\, τη πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου ABC.

Προφανώς Το καθένα από τα ορθογώνια τρίγωνα BB'P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CC'P είναι όμοιο με το

Τρίγωνο ATS έτσι ταυτόχρονα έχω:

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{BB'}}{{AT}} = \frac{{PB}}{{AB}} \hfill \\ 
  \frac{{CC'}}{{AT}} = \frac{{PC}}{{AB}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{x}{{AT}} = \frac{{PB}}{{2R}} \hfill \\ 
  \frac{y}{{AT}} = \frac{{PC}}{{2R}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{x + y}}{{AT}} = \frac{{BC}}{{2R}} \hfill \\ 
  \frac{{xy}}{{A{T^2}}} = \frac{{PB \cdot PC}}{{4{R^2}}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{A{T^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{4{R^2}}} \hfill \\ 
  \frac{{xy}}{{A{T^2}}} = \frac{{PB \cdot PC}}{{4{R^2}}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Σταθερή ποσότητα.png
Σταθερή ποσότητα.png (26.7 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές
Με αφαίρεση κατά μέλη έχω : \boxed{\frac{{{x^2} + {y^2} + xy}}{{A{T^2}}} = \frac{{{a^2} - PB \cdot PC}}{{4{R^2}}}}\,\,\left( 1 \right)

Αλλά:

PB \cdot PC = PA \cdot PT = PA\left( {AT - PA} \right)

 \Rightarrow PB \cdot PC = PA \cdot AT - P{A^2} = AM \cdot AS - P{A^2} = A{C^2} - P{A^2} = {a^2} - P{A^2}

Κι έτσι η \left( 1 \right) δίδει :

{x^2} + {y^2} + xy = \dfrac{{{{\left( {AT \cdot AP} \right)}^2}}}{{4{R^2}}} = \dfrac{{{{\left( {AM \cdot AS} \right)}^2}}}{{4{R^2}}} \Rightarrow \boxed{{x^2} + {y^2} + xy = \frac{{{a^4}}}{{4{R^2}}}\,\,\,\,}


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4007
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Σταθερή ποσότητα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Μαρ 16, 2020 12:21 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 14, 2020 9:11 pm
Σταθερή ποσότητα.pngΟνομάζουμε B' , C' τις προβολές των κορυφών B , C ισοπλεύρου τριγώνου ABC ,

πλευράς a , προς ευθεία διερχόμενη από την κορυφή A και εσωτερική της γωνίας \hat{A} .

Υπολογίστε την παράσταση : BB'^2+CC'^2+BB'\cdot CC'
Ας δούμε τι ακριβώς έγραψα πιο πάνω
σταθερό γινόμενο.png
σταθερό γινόμενο.png (24.19 KiB) Προβλήθηκε 187 φορές
Έστω S το σημείο τομής της εκ του A ευθείας με τον περίκυκλο του τριγώνου \vartriangle ABC .
Τότε από τα ορθογώνια τρίγωνα \vartriangle B{B}'S,\vartriangle C{C}'S με \angle BS{B}'=\angle CS{C}'={{60}^{0}} προκύπτει ότι B{B}'=SB\dfrac{\sqrt{3}}{2},C{C}'=SC\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Αν K=B{{{B}'}^{2}}+C{{{C}'}^{2}}+B{B}'\cdot C{C}' , τότε

2K=2B{{{B}'}^{2}}+2C{{{C}'}^{2}}+2B{B}'\cdot C{C}'= \dfrac{3}{4}\left( S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}+{{\left( SB+SC \right)}^{2}} \right)\overset{SB+SC=SA*}{\mathop{=}}\,

\dfrac{3}{4}\left( S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}+S{{A}^{2}} \right)\overset{S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}+S{{A}^{2}}=2{{a}^{2}}:**}{\mathop{=}}\, \dfrac{3{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow K=\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}=ct


* Γνωστή πρόταση
** Σχολική πρόταση (στο θεώρημα των διαμέσων)


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1886
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Σταθερή ποσότητα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Μαρ 16, 2020 7:11 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 14, 2020 9:11 pm
Σταθερή ποσότητα.pngΟνομάζουμε B' , C' τις προβολές των κορυφών B , C ισοπλεύρου τριγώνου ABC ,

πλευράς a , προς ευθεία διερχόμενη από την κορυφή A και εσωτερική της γωνίας \hat{A} .

Υπολογίστε την παράσταση : BB'^2+CC'^2+BB'\cdot CC'
Είναι

BB'//CC',AK\perp BC,AD\perp CC',\hat{DBB'}=\hat{C'CD}=\omega =\hat{DAK}

Από το Θ.Stewart στο τρίγωνο ABC,a^{2}-BD.DC=AD^{2},(1),

και AD.cos\omega =\upsilon  ,(2),


BB'^{2}+CC'^{2}+BB'.CC'=(BB'+CC')^{2}-BB'.CC'= LC^{2}-LC'.CC',(3), (1),(2),(3)\Rightarrow     

 BB'^{2}+CC'^{2}+BB'.CC'=\upsilon ^{2}=\dfrac{3a^{2}}{4}
Συνημμένα
Σταθερή ποσότητα.png
Σταθερή ποσότητα.png (41.31 KiB) Προβλήθηκε 123 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης