Κάθετες κι' αυτές!

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1258
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Κάθετες κι' αυτές!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Μαρ 24, 2020 8:58 pm

Καλό βράδυ.
Κάθετες κι' αυτές!.PNG
Κάθετες κι' αυτές!.PNG (8.82 KiB) Προβλήθηκε 280 φορές
Το τραπέζιο ABCD έχει \widehat{B}=\widehat{C}=90^\circ και AD=CD ενώ είναι AB=75 και BC=100.

Έστω M το μέσον της BC και σημείο E \in AD ώστε ME=86.

Αν P \in ME ώστε να είναι CP  \perp DM τότε: Να εξεταστεί αν είναι και BP \perp AM.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Κάθετες κι' αυτές!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Μαρ 25, 2020 12:09 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Μαρ 24, 2020 8:58 pm
Καλό βράδυ.
Κάθετες κι' αυτές!.PNG
Το τραπέζιο ABCD έχει \widehat{B}=\widehat{C}=90^\circ και AD=CD ενώ είναι AB=75 και BC=100.

Έστω M το μέσον της BC και σημείο E \in AD ώστε ME=86.

Αν P \in ME ώστε να είναι CP  \perp DM τότε: Να εξεταστεί αν είναι και BP \perp AM.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλησπέρα!

Από εδώ αρκεί να δείξω πως \rm ME\perp AD.Ισοδύναμα θεωρώ \rm E την προβολή του \rm M στην  \rm AD και αρκεί \rm ME=86.
Από πυθαγόρειο βρίσκουμε \rm AC=125,AM=25\sqrt{13}.Είναι \rm \angle DCA=\angle ACD=\angle CAB.
Είναι λοιπόν:
\rm \sin \angle MAE=\sin (\angle DAB-\angle MAB)=\sin \angle DAB\cos \angle MAB-\cos \angle DAB\sin \angle MAB=
=\rm 2\cos \angle CAB\sin \angle CAB\cos\angle MAB-\left ( 2\cos^2\angle CAB-1 \right )\sin\angle MAB=
\rm =2\cdot \dfrac{75}{125}\cdot \dfrac{100}{125}\cdot \dfrac{75}{25\sqrt{13}}-(2\cdot \dfrac{9}{25}-1)\cdot \dfrac{50}{25\sqrt{13}}=\dfrac{72}{25\sqrt{13}}+\dfrac{14}{25\sqrt{13}}=\dfrac{86}{25\sqrt{13}}
Άρα \rm \sin \angle MAE=\dfrac{86}{25\sqrt{13}}\Leftrightarrow \dfrac{ME}{25\sqrt{13}}=\dfrac{86}{25\sqrt{13}}\Leftrightarrow \boxed{\rm ME=86}
και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4005
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Κάθετες κι' αυτές!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Μαρ 25, 2020 11:06 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Μαρ 24, 2020 8:58 pm
Καλό βράδυ.
Κάθετες κι' αυτές!.PNG
Το τραπέζιο ABCD έχει \widehat{B}=\widehat{C}=90^\circ και AD=CD ενώ είναι AB=75 και BC=100.

Έστω M το μέσον της BC και σημείο E \in AD ώστε ME=86.

Αν P \in ME ώστε να είναι CP  \perp DM τότε: Να εξεταστεί αν είναι και BP \perp AM.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Ας δούμε μια εναλλακτική προσέγγιση (αποφεύγοντας την τριγωνομετρία) στο ίδιο σκεπτικό με τον Πρόδρομο!!!
και αυτές κάθετες.png
και αυτές κάθετες.png (23.68 KiB) Προβλήθηκε 214 φορές
Έστω CF\bot AD\left( F\in AD \right) και ας είναι x το μήκος του εκ του M ύψους του τριγώνου \vartriangle MCD . Τότε από την ισότητα (γνωστή σχολική πρόταση)
2\left( MCD \right)=\left( ABCD \right)\Leftrightarrow CD\cdot x=\dfrac{BC+AD}{2}\cdot AB \overset{AD=CD}{\mathop{\Rightarrow }}\,x=\dfrac{AB}{2}\left( 1+\dfrac{BC}{CD} \right):\left( 1 \right)
Από το Π.Θ στο ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle CFD θα έχουμε: C{{D}^{2}}=C{{F}^{2}}+F{{D}^{2}}=\ldots A{{B}^{2}}+{{\left( CD-BC \right)}^{2}}\Rightarrow \ldots CD=\dfrac{B{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}{2BC}\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,x=\dfrac{AB}{2}\left[ 1+\dfrac{2B{{C}^{2}}}{B{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}} \right]=\dfrac{100}{2}\cdot \left[ 1+\dfrac{2\cdot {{75}^{2}}}{{{75}^{2}}+{{100}^{2}}} \right]\Rightarrow \ldots x=86\Rightarrow ME\bot CD και όπως αναφέρει και ο Πρόδρομος από την παραπομπή του το ζητούμενο έχει αποδειχθεί


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1258
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Κάθετες κι' αυτές!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Απρ 06, 2020 9:35 pm

Καλό βράδυ. Κατ' αρχήν ένα ακόμη εύγε στον Πρόδρομο!
Για τον Στάθη το μόνο που μπορώ να πω είναι ότι την άσκηση την '' κατέβασε ως να ήταν μπεκάτσα στο φτερό" .. :coolspeak: ..
Πράγματι το σκεπτικό που είχα κατά τη δημιουργία του θέματος ήταν ακριβώς αυτό που αποκάλυψε ο Στάθης!!

Με τα δεδομένα που έθεσα το τραπέζιο είναι μοναδικό ως προς τα μεγέθη του. Υπολόγισα την απόσταση d του μέσου M από την CD και έβαλα ME=d ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα της παραπομπής. Τέλος φρόντισα να είναι τα δοσμένα μεγέθη ακέραιοι αριθμοί..
Φιλικά, Γιώργος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες