Κάθετες κι' αυτές!

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλό βράδυ.

: Κάθετες κι' αυτές!.PNG (8.82 KiB) Προβλήθηκε 499 φορές

Το τραπέζιο ABCD

έχει $\widehat{B}=\widehat{C}=90^\circ$ και AD=CD

ενώ είναι

και

.

Έστω

το μέσον της

και σημείο $E \in AD$ ώστε ME=86

.

Αν $P \in ME$ ώστε να είναι $CP \perp DM$ τότε: Να εξεταστεί αν είναι και $BP \perp AM$ .

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 24, 2020 8:58 pm
Καλό βράδυ.
Κάθετες κι' αυτές!.PNG
Το τραπέζιο έχει $\widehat{B}=\widehat{C}=90^\circ$ και ενώ είναι και .

Έστω το μέσον της και σημείο $E \in AD$ ώστε .

Αν $P \in ME$ ώστε να είναι $CP \perp DM$ τότε: Να εξεταστεί αν είναι και $BP \perp AM$ .

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλησπέρα!

Από εδώ αρκεί να δείξω πως $\rm ME\perp AD$ .Ισοδύναμα θεωρώ $\rm E$ την προβολή του $\rm M$ στην $\rm AD$ και αρκεί $\rm ME=86$ .
Από πυθαγόρειο βρίσκουμε $\rm AC=125,AM=25\sqrt{13}$ .Είναι $\rm \angle DCA=\angle ACD=\angle CAB$ .
Είναι λοιπόν:
$\rm \sin \angle MAE=\sin (\angle DAB-\angle MAB)=\sin \angle DAB\cos \angle MAB-\cos \angle DAB\sin \angle MAB=$
$=\rm 2\cos \angle CAB\sin \angle CAB\cos\angle MAB-\left ( 2\cos^2\angle CAB-1 \right )\sin\angle MAB=$
$\rm =2\cdot \dfrac{75}{125}\cdot \dfrac{100}{125}\cdot \dfrac{75}{25\sqrt{13}}-(2\cdot \dfrac{9}{25}-1)\cdot \dfrac{50}{25\sqrt{13}}=\dfrac{72}{25\sqrt{13}}+\dfrac{14}{25\sqrt{13}}=\dfrac{86}{25\sqrt{13}}$
Άρα $\rm \sin \angle MAE=\dfrac{86}{25\sqrt{13}}\Leftrightarrow \dfrac{ME}{25\sqrt{13}}=\dfrac{86}{25\sqrt{13}}\Leftrightarrow \boxed{\rm ME=86}$
και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 24, 2020 8:58 pm
Καλό βράδυ.
Κάθετες κι' αυτές!.PNG
Το τραπέζιο έχει $\widehat{B}=\widehat{C}=90^\circ$ και ενώ είναι και .

Έστω το μέσον της και σημείο $E \in AD$ ώστε .

Αν $P \in ME$ ώστε να είναι $CP \perp DM$ τότε: Να εξεταστεί αν είναι και $BP \perp AM$ .

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Ας δούμε μια εναλλακτική προσέγγιση (αποφεύγοντας την τριγωνομετρία) στο ίδιο σκεπτικό με τον Πρόδρομο!!!

: και αυτές κάθετες.png (23.68 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές

Έστω $CF\bot AD\left( F\in AD \right)$ και ας είναι το μήκος του εκ του ύψους του τριγώνου $\vartriangle MCD$ . Τότε από την ισότητα (γνωστή σχολική πρόταση)
$2\left( MCD \right)=\left( ABCD \right)\Leftrightarrow CD\cdot x=\dfrac{BC+AD}{2}\cdot AB$ $\overset{AD=CD}{\mathop{\Rightarrow }}\,x=\dfrac{AB}{2}\left( 1+\dfrac{BC}{CD} \right):\left( 1 \right)$
Από το Π.Θ στο ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle CFD$ θα έχουμε: $C{{D}^{2}}=C{{F}^{2}}+F{{D}^{2}}=\ldots A{{B}^{2}}+{{\left( CD-BC \right)}^{2}}\Rightarrow$ $\ldots CD=\dfrac{B{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}{2BC}\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,x=\dfrac{AB}{2}\left[ 1+\dfrac{2B{{C}^{2}}}{B{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}} \right]=$ $\dfrac{100}{2}\cdot \left[ 1+\dfrac{2\cdot {{75}^{2}}}{{{75}^{2}}+{{100}^{2}}} \right]\Rightarrow \ldots x=86\Rightarrow ME\bot CD$ και όπως αναφέρει και ο Πρόδρομος από την παραπομπή του το ζητούμενο έχει αποδειχθεί

Στάθης

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλό βράδυ. Κατ' αρχήν ένα ακόμη εύγε στον Πρόδρομο!
Για τον Στάθη το μόνο που μπορώ να πω είναι ότι την άσκηση την '' κατέβασε ως να ήταν μπεκάτσα στο φτερό" ..

..
Πράγματι το σκεπτικό που είχα κατά τη δημιουργία του θέματος ήταν ακριβώς αυτό που αποκάλυψε ο Στάθης!!

Με τα δεδομένα που έθεσα το τραπέζιο είναι μοναδικό ως προς τα μεγέθη του. Υπολόγισα την απόσταση

του μέσου

από την

και έβαλα

ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα της παραπομπής. Τέλος φρόντισα να είναι τα δοσμένα μεγέθη ακέραιοι αριθμοί..
Φιλικά, Γιώργος

Κάθετες κι' αυτές!

Κάθετες κι' αυτές!

Re: Κάθετες κι' αυτές!

Re: Κάθετες κι' αυτές!

Re: Κάθετες κι' αυτές!

Μέλη σε σύνδεση