Λόγος με λόγο

KARKAR · #1

: Λόγος με λόγο.png (16.18 KiB) Προβλήθηκε 409 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, είναι :

. Με κορυφή σημείο

της

,

τέτοιο ώστε : SC=2

, σχεδιάζουμε το παραλληλόγραμμο APSQ

. Ο κύκλος (P,Q , S )

ξανατέμνει την

στο σημείο

. Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(PTQ)}{(ABC)}$

#2

$\cos A = \dfrac{{{5^2} + {7^2} - {8^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 7}} = \dfrac{1}{7}\,\,\,\left( 1 \right)$ . (Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle ABC$ )

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο PTSQ

έχω $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ κι από το παραλληλόγραμμο

APSQ

είναι $\widehat {{A_{}}} = \widehat {{\theta _1}}$ και άρα $\boxed{\cos {\theta _1} = \frac{1}{7}}$

Τα τρίγωνα $ABC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,QSC$ είναι όμοια άρα : $QC = \dfrac{7}{4}\,\,\,,\,\,QS = \dfrac{5}{4} \Rightarrow \boxed{PS = AQ = \dfrac{{3 \cdot 7}}{4} = \dfrac{{21}}{4}}$

Τώρα πάλι από το Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle SPQ$ έχω :

$\boxed{P{Q^2} = {{\left( {\frac{{21}}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{4}} \right)}^2} - 2 \cdot \frac{{21}}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{7} = \frac{{109}}{4}}$

: Λόγος με λόγο.png (40.31 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές

Αλλά $\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{C_{}}}$ γιατί PS//AC

και $\widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _1}}$ από εγγράψιμο τετράπλευρο PTSQ

.

Μα έτσι τα τρίγωνα $ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PTQ$ είναι όμοια και . $\boxed{\frac{{\left( {TPQ} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{P{Q^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{109}}{{256}}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 28, 2020 8:48 pm
Λόγος με λόγο.pngΣτο τρίγωνο , είναι : . Με κορυφή σημείο της ,

τέτοιο ώστε : , σχεδιάζουμε το παραλληλόγραμμο . Ο κύκλος

ξανατέμνει την στο σημείο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(PTQ)}{(ABC)}$

Η αρχική μου λύση ήταν ίδια με του Νίκου.

Η

τέμνει την

στο

και έστω

Εύκολα με ν. συνημιτόνου βρίσκω $\widehat B=60^\circ.$

: Λόγος με λόγο.png (23.23 KiB) Προβλήθηκε 345 φορές

$\displaystyle \frac{{QS}}{{AB}} = \frac{{CS}}{{CB}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow QS = \frac{5}{4}$ και $BP=\dfrac{15}{4},$ άρα $\boxed{\frac{v}{h} = \frac{3}{4}}$ (1)

$\displaystyle \frac{{QS}}{{BP}} = \frac{{KS}}{{KB}} \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{{2 + x}}{{8 + x}} \Leftrightarrow x = 1$ και με ν. συνημιτόνου στο QSK,

είναι $\boxed{K{Q^2} = \frac{{109}}{{16}}}$ (2)

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{KQ}}{{KP}} = \dfrac{{QS}}{{BP}} = \dfrac{1}{3}\\ \\ KQ \cdot KP = KS \cdot KT = 3KT \end{array} \right. \Rightarrow K{Q^2} = KT\mathop \Rightarrow \limits^{(2)} KT = \frac{{109}}{{16}}$ (3)

$\displaystyle \frac{{(TPQ)}}{{(TPK)}} = \frac{{PQ}}{{PK}} = \frac{2}{3},$ οπότε $\displaystyle \frac{{(TPQ)}}{{(ABC)}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(TPK)}}{{(ABC)}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{TK \cdot v}}{{8h}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1),(3)}$ $\boxed{\frac{{(TPQ)}}{{(ABC)}} = \frac{{109}}{{256}}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 28, 2020 8:48 pm
Λόγος με λόγο.pngΣτο τρίγωνο , είναι : . Με κορυφή σημείο της ,

τέτοιο ώστε : , σχεδιάζουμε το παραλληλόγραμμο . Ο κύκλος

ξανατέμνει την στο σημείο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(PTQ)}{(ABC)}$

$\dfrac{CQ}{7} = \dfrac{QS}{5}= \dfrac{1}{4} \Rightarrow CQ= \dfrac{7}{4} ,QS= \dfrac{5}{4}$ και $AQ= \dfrac{21}{4},BP= \dfrac{15}{4}$

$\triangle PQT \simeq \triangle ABC \Rightarrow \dfrac{PT}{5}= \dfrac{QT}{ 7 }= \dfrac{PQ}{8}= \lambda \Rightarrow PT=5 \lambda ,QT=7 \lambda ,PQ=8 \lambda$

κι από θ.Πτολεμαίου $TS= \dfrac{61}{16}$ άρα $BT= \dfrac{35}{16} ,TC= \dfrac{93}{16}$

Με (ABC)= E,(PQT)=S

έχουμε

$\Rightarrow \dfrac{E-S}{E} =\dfrac{(PBT)}{E}+ \dfrac{(APQ)}{E}+ \dfrac{(TQC)}{E}= \dfrac{PB . BT}{40}+ \dfrac{AP . AQ}{35} + \dfrac{QC . CT}{56}$ .Με πράξεις $\dfrac{S}{E}= \dfrac{109}{256}$

: λόγος.png (25.48 KiB) Προβλήθηκε 335 φορές

Λόγος με λόγο

Λόγος με λόγο

Re: Λόγος με λόγο

Re: Λόγος με λόγο

Re: Λόγος με λόγο

Μέλη σε σύνδεση