Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ.

: Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος.PNG (13.8 KiB) Προβλήθηκε 381 φορές

Δίνεται το τρίγωνο ABC

. Το σημείο

διατρέχει την διχοτόμο

. Η κάθετη από το

προς την

τέμνει την διάμεσο

στο

και η παράλληλη από το

προς την

τέμνει την

στο

και την

στο

.

Ακόμη, ο κύκλος των R,E,Q

τέμνει την

και στο

ενώ ο κύκλος των R,E,F

τέμνει την

στο και

.

Να εξεταστεί αν: Ι) Ισχύει LQ=FN

και ΙΙ) Ο λόγος $\dfrac{\left ( ELA \right )}{\left ( ENA \right )}$ είναι σταθερός, παρά την κίνηση του δρομέα

.

Ευχαριστώ, Γιώργος.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τετ Απρ 01, 2020 10:14 pm
Χαιρετώ.
Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος.PNG
Δίνεται το τρίγωνο . Το σημείο διατρέχει την διχοτόμο . Η κάθετη από το προς την

τέμνει την διάμεσο στο και η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο και την στο .

Ακόμη, ο κύκλος των τέμνει την και στο ενώ ο κύκλος των τέμνει την στο και .

Να εξεταστεί αν: Ι) Ισχύει και ΙΙ) Ο λόγος $\dfrac{\left ( ELA \right )}{\left ( ENA \right )}$ είναι σταθερός, παρά την κίνηση του δρομέα .

Ευχαριστώ, Γιώργος.

Ι)
Λόγω των εγγεγραμμένων $\rm QERL,ENFR$ είναι $\rm \angle RLA=\angle RNA=90^{\circ}$ .Αφού $\rm R$ σημείο της διχοτόμου θα είναι $\rm RL=RN$ .Επίσης στο $\rm \Delta QRF$ η $\rm RE$ είναι ύψος και διάμεσος ,αφού $\rm \dfrac{EQ}{EF}=\dfrac{MB}{MC}=1$ .Είναι λοιπόν $\rm \Delta RLQ=\Delta RFN$ από όπου έπεται το ζητούμενο.
ΙΙ)Είναι $\rm \angle QEL=\angle QRL=\angle NRF=\angle FEN$ άρα $\rm N,E,L$ συνευθειακά.Είναι λοιπόν $\rm \angle ELQ=\angle QRE=\angle FRE=\angle ANE$ δηλαδή $\rm AN=AL$ .
$\rm \dfrac{ELA}{ENA}=\dfrac{AL}{AN}\cdot \dfrac{\sin \angle BAR}{\sin \angle CAR}=stathero$

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τετ Απρ 01, 2020 10:14 pm
Χαιρετώ.
Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος.PNG
Δίνεται το τρίγωνο . Το σημείο διατρέχει την διχοτόμο . Η κάθετη από το προς την

τέμνει την διάμεσο στο και η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο και την στο .

Ακόμη, ο κύκλος των τέμνει την και στο ενώ ο κύκλος των τέμνει την στο και .

Να εξεταστεί αν: Ι) Ισχύει και ΙΙ) Ο λόγος $\dfrac{\left ( ELA \right )}{\left ( ENA \right )}$ είναι σταθερός, παρά την κίνηση του δρομέα .

Ευχαριστώ, Γιώργος.

: Ίσα τμήμ. και σταθερός λόγος.png (22.24 KiB) Προβλήθηκε 256 φορές

Ι) Είναι $\displaystyle RQ = RF$ και λόγω διχοτόμου $\displaystyle RL = RN,$ οπότε και $\boxed{LQ=FN}$

II) Από RQ=RF

οι κύκλοι είναι ίσοι και αφού $\displaystyle LQ = FN \Leftrightarrow Q\widehat EL = N\widehat EF,$ τα L, E, N

είναι

συνευθειακά. Άρα, $\boxed{\frac{{(ELA)}}{{(ENA)}} = \frac{{LE}}{{EN}} = \frac{b}{c}}$ (Η τελευταία ισότητα από εδώ)

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλό βράδυ.Ευχαριστώ τον μοναδικό Πρόδρομο και βεβαίως τον Γιώργο για την κάλυψη του θέματος!
Μόνο για το β' ερώτημα μια ακόμη διαδρομή

: Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος ΙΙ.PNG (15.44 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές

Όπως έχει δειχθεί τα L,E,N

είναι συνευθειακά, άρα $\dfrac{\left ( ELA \right )}{\left ( ENA \right )}=\dfrac{LE}{EN}$ .Οι κύκλοι έχουν διαμέτρους $RQ=RF=2 \rho$

οπότε με τον Νόμο των ημιτόνων : $\dfrac{LE}{\eta \mu \omega }=2\rho =\dfrac{EN}{\eta \mu \varphi} \Rightarrow \dfrac{LE}{EN}=\dfrac{\eta \mu \omega }{\eta \mu \varphi }$

και τελικά $\dfrac{\left ( ELA \right )}{\left ( ENA \right )}=\dfrac{\eta \mu \omega }{\eta \mu \varphi }=\dfrac{AC}{AB}$ . Φιλικά, Γιώργος.

Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος

Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος

Re: Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος

Re: Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος

Re: Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος

Μέλη σε σύνδεση