Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1257
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Απρ 01, 2020 10:14 pm

Χαιρετώ.
Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος.PNG
Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος.PNG (13.8 KiB) Προβλήθηκε 319 φορές
Δίνεται το τρίγωνο ABC. Το σημείο R διατρέχει την διχοτόμο AD . Η κάθετη από το R προς την BC

τέμνει την διάμεσο AM στο E και η παράλληλη από το E προς την BC τέμνει την AB στο Q και την AC στο F.

Ακόμη, ο κύκλος των R,E,Q τέμνει την AB και στο L ενώ ο κύκλος των R,E,F τέμνει την AC στο και N.

Να εξεταστεί αν: Ι) Ισχύει LQ=FN και ΙΙ) Ο λόγος \dfrac{\left ( ELA \right )}{\left ( ENA \right )} είναι σταθερός, παρά την κίνηση του δρομέα R
.

Ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 733
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Απρ 02, 2020 12:50 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τετ Απρ 01, 2020 10:14 pm
Χαιρετώ.
Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος.PNG
Δίνεται το τρίγωνο ABC. Το σημείο R διατρέχει την διχοτόμο AD . Η κάθετη από το R προς την BC

τέμνει την διάμεσο AM στο E και η παράλληλη από το E προς την BC τέμνει την AB στο Q και την AC στο F.

Ακόμη, ο κύκλος των R,E,Q τέμνει την AB και στο L ενώ ο κύκλος των R,E,F τέμνει την AC στο και N.

Να εξεταστεί αν: Ι) Ισχύει LQ=FN και ΙΙ) Ο λόγος \dfrac{\left ( ELA \right )}{\left ( ENA \right )} είναι σταθερός, παρά την κίνηση του δρομέα R
.

Ευχαριστώ, Γιώργος.
Ι)
Λόγω των εγγεγραμμένων \rm QERL,ENFR είναι \rm \angle RLA=\angle RNA=90^{\circ}.Αφού \rm R σημείο της διχοτόμου θα είναι \rm RL=RN.Επίσης στο \rm \Delta QRF η \rm RE είναι ύψος και διάμεσος ,αφού \rm \dfrac{EQ}{EF}=\dfrac{MB}{MC}=1.Είναι λοιπόν \rm \Delta RLQ=\Delta RFN από όπου έπεται το ζητούμενο.
ΙΙ)Είναι \rm \angle QEL=\angle QRL=\angle NRF=\angle FEN άρα  \rm N,E,L συνευθειακά.Είναι λοιπόν \rm \angle ELQ=\angle QRE=\angle FRE=\angle ANE δηλαδή \rm AN=AL.
\rm \dfrac{ELA}{ENA}=\dfrac{AL}{AN}\cdot \dfrac{\sin \angle BAR}{\sin \angle CAR}=stathero


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9214
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 04, 2020 4:55 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τετ Απρ 01, 2020 10:14 pm
Χαιρετώ.
Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος.PNG
Δίνεται το τρίγωνο ABC. Το σημείο R διατρέχει την διχοτόμο AD . Η κάθετη από το R προς την BC

τέμνει την διάμεσο AM στο E και η παράλληλη από το E προς την BC τέμνει την AB στο Q και την AC στο F.

Ακόμη, ο κύκλος των R,E,Q τέμνει την AB και στο L ενώ ο κύκλος των R,E,F τέμνει την AC στο και N.

Να εξεταστεί αν: Ι) Ισχύει LQ=FN και ΙΙ) Ο λόγος \dfrac{\left ( ELA \right )}{\left ( ENA \right )} είναι σταθερός, παρά την κίνηση του δρομέα R
.

Ευχαριστώ, Γιώργος.
Ίσα τμήμ. και σταθερός λόγος.png
Ίσα τμήμ. και σταθερός λόγος.png (22.24 KiB) Προβλήθηκε 194 φορές
Ι) Είναι \displaystyle RQ = RF και λόγω διχοτόμου \displaystyle RL = RN, οπότε και \boxed{LQ=FN}

II) Από RQ=RF οι κύκλοι είναι ίσοι και αφού \displaystyle LQ = FN \Leftrightarrow Q\widehat EL = N\widehat EF, τα L, E, N είναι

συνευθειακά. Άρα, \boxed{\frac{{(ELA)}}{{(ENA)}} = \frac{{LE}}{{EN}} = \frac{b}{c}} (Η τελευταία ισότητα από εδώ)


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1257
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Απρ 05, 2020 9:44 pm

Καλό βράδυ.Ευχαριστώ τον μοναδικό Πρόδρομο και βεβαίως τον Γιώργο για την κάλυψη του θέματος!
Μόνο για το β' ερώτημα μια ακόμη διαδρομή
Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος ΙΙ.PNG
Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος ΙΙ.PNG (15.44 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές
Όπως έχει δειχθεί τα L,E,N είναι συνευθειακά, άρα \dfrac{\left ( ELA \right )}{\left ( ENA \right )}=\dfrac{LE}{EN}.Οι κύκλοι έχουν διαμέτρους RQ=RF=2 \rho

οπότε με τον Νόμο των ημιτόνων : \dfrac{LE}{\eta \mu \omega }=2\rho =\dfrac{EN}{\eta \mu \varphi} \Rightarrow \dfrac{LE}{EN}=\dfrac{\eta \mu \omega }{\eta \mu \varphi }

και τελικά \dfrac{\left ( ELA \right )}{\left ( ENA \right )}=\dfrac{\eta \mu \omega }{\eta \mu \varphi }=\dfrac{AC}{AB}. Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης