Μετρική σε τετράγωνο 2

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9787
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Μετρική σε τετράγωνο 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Απρ 08, 2020 7:50 pm

Μετρική σε τετράγωνο.2.png
Μετρική σε τετράγωνο.2.png (8.96 KiB) Προβλήθηκε 546 φορές
Τα σημεία E, F βρίσκονται αντίστοιχα στις πλευρές BC, CD τετραγώνου ABCD ώστε

E\widehat AB = 20^\circ και F\widehat AD = 25^\circ . Να δείξετε ότι \displaystyle AB \cdot EF + DF \cdot BE = A{B^2}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6274
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Μετρική σε τετράγωνο 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Απρ 08, 2020 8:49 pm

Μια τριγωνομετρική απόδειξη. Θεωρούμε \displaystyle{AB=1,}

οπότε

\displaystyle{\tan 20^o=BE, ~\tan 25^o=FD.}

Είναι

\displaystyle{FE=\sqrt{(1-\tan 20^o)^2+(1-\tan 25^o)^2}=\sqrt{2\left(\frac{\sin ^2 25^o}{\cos ^2 20^o}+\frac{\sin ^2 20^o}{\cos ^2 25}\right)}} \displaystyle{(\color{red}\bigstar)}

γιατί \displaystyle{1-\tan 20^o=\tan 45^o-\tan 20^o=\frac{\sin 25^o}{\cos 45^o \cos 20^o}=\sqrt{2}\frac{\sin 25^o}{\cos 20^o}}

και ομοίως \displaystyle{1-\tan 25^o=\sqrt{2}\frac{\sin 20^o}{\cos 25^o}}.

Τότε, από την \displaystyle{(\color{red}\bigstar)} έχουμε

\displaystyle{FE=\sqrt{2\frac{\sin ^2 25^o \cos ^2 25^o+\sin ^2 20^o\cos ^2 20^o}{\cos ^2 20^o\cos ^2 25^o}}=\sqrt{\frac{1}{2}\frac{\sin ^2 50^o+\sin ^2 40^o}{\cos ^2 20^o\cos ^2 25^o}}=\frac{1}{\sqrt{2}\cos 20^o\cos 25^o}}.

Πλέον, η αποδεικτέα γράφεται

\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}\cos 20^o\cos 25^o}+\tan 20^o\tan 25^o=1.}

Πράγματι, είναι

\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}\cos 20^o\cos 25^o}+\tan 20^o\tan 25^o=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}+\sin 20^o\sin 25^o}{\cos 20^o\cos 25^o}=\frac{\cos 20^o\cos 25^o}{\cos 20^o\cos 25^o}=1}

με την προτελευταία ισότητα να ισχύει ως συνέπεια της ισότητας

\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos 45^o=\cos 20^o\cos 45^o-\sin 20^o \sin 25^o.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1324
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Μετρική σε τετράγωνο 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Απρ 08, 2020 9:19 pm

Καλό βράδυ!
Μετρική σε τετράγωνο.PNG
Μετρική σε τετράγωνο.PNG (12.99 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές
Θεωρώ το σημείο H ώστε AH=AB=a και \widehat{EAH}=20^ \circ Τότε τα τρίγωνα ABE,AEH είναι ίσα

με BE=EH=y και EH \perp AH . Το ίδιο ισχύει και για τα DAF,AFH με DF=FH=x και FH \perp AH.

Συνεπώς τα F,H,E είναι συνευθειακά και έχουμε 2\left ( DAF \right )+2\left ( ABE \right )+\left ( FEC \right )=\left ( ABCD \right )

ή ax+ay+\dfrac{\left ( a-x \right )\left ( a-y \right )}{2}=a^{2} που ισοδυναμεί με a\left ( x+y \right )+xy=a^{2} δηλ. το ζητούμενο.

Φιλικά, Γιώργος.


Altrian
Δημοσιεύσεις: 210
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Μετρική σε τετράγωνο 2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Τετ Απρ 08, 2020 9:59 pm

Καλησπέρα, παρόμοια με του Γιώργου.

Φέρνουμε την AG όπως στο σχήμα. Προφανώς AG=AF και AE μεσοκάθετη του FG. Αρα FE=EG=x+y

Μετά με Π.Θ. στο FCE\rightarrow (x+y)^{2}=(a-x)^{2}+(a-y)^{2}\Rightarrow ...\Rightarrow a(x+y)+xy=a^{2}
Συνημμένα
μετρικη σε τετραγωνο 2.png
μετρικη σε τετραγωνο 2.png (10.08 KiB) Προβλήθηκε 485 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1937
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Μετρική σε τετράγωνο 2

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Απρ 08, 2020 11:50 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Απρ 08, 2020 7:50 pm
Μετρική σε τετράγωνο.2.png
Τα σημεία E, F βρίσκονται αντίστοιχα στις πλευρές BC, CD τετραγώνου ABCD ώστε

E\widehat AB = 20^\circ και F\widehat AD = 25^\circ . Να δείξετε ότι \displaystyle AB \cdot EF + DF \cdot BE = A{B^2}.
Εστω ότι FJ\perp AC,EK\perp AC,DF=x,EB=y

Θα αποδειχθεί ότι EF=\dfrac{a^{2}-xy}{a},

Τα ορθογωνια τρίγωνα

 ADF,AKE είναι όμοια άρα \dfrac{x}{KE}=\dfrac{a}{AK}\Rightarrow y=\dfrac{a(a-x)}{a+x}(2)

Στο ορθογώνιο τρίγωνο FCE, με Π.Θ.

EF^{2}=(a-x)^{2}+(a-y)^{2},(2),

  
(1),(2)\Rightarrow EF^{2}=\dfrac{(a^{2}+x^{2})^{2}}{(a+x)^{2}},(3),

Η αποδεικτέα σχέση λόγω της (1) γράφεταιEF^{2}=(a-\dfrac{x(a-x)}{a+x})^{2}=\dfrac{(a^{2}+x^{2})^{2}}{(a+x)^{2}}

που ισχύει λόγω της (3)
Συνημμένα
Μετρική σε τετράγωνο  2.png
Μετρική σε τετράγωνο 2.png (55.02 KiB) Προβλήθηκε 447 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1906
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μετρική σε τετράγωνο 2

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Απρ 12, 2020 8:55 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Απρ 08, 2020 7:50 pm
Μετρική σε τετράγωνο.2.png
Τα σημεία E, F βρίσκονται αντίστοιχα στις πλευρές BC, CD τετραγώνου ABCD ώστε

E\widehat AB = 20^\circ και F\widehat AD = 25^\circ . Να δείξετε ότι \displaystyle AB \cdot EF + DF \cdot BE = A{B^2}.

Με FZ \bot AE  \Rightarrow FZ=AE\Rightarrow FZ=AE (γνωστό) κι επειδή FH=AH \Rightarrow FEZA ισοσκελές τραπέζιο

\Rightarrow  \angle ZEB=25^0 \Rightarrow  \triangle DFA \simeq  \triangle EZB.Άρα

\dfrac{m}{BZ}= \dfrac{a}{n}   \Rightarrow  \dfrac{m}{a-AZ}= \dfrac{a}{n } \Rightarrow a^2=mn+aAZ=mn+aEF
Μετρική σε τετράγωνο.png
Μετρική σε τετράγωνο.png (19.28 KiB) Προβλήθηκε 375 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης