Συντρέχεια

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1

Καλησπέρα!
Μια άσκηση που κατασκεύασα:
Έστω τρίγωνο $\rm ABC$ και $\rm S$ σημείο στο εσωτερικό του.Ο εγγεγραμμένος κύκλος του $\rm ABC$ εφάπτεται στις $\rm BC,AC,AB$ στα $\rm A_1,B_1,C_1$ αντίστοιχα.Οι $\rm AS,BS,CS$ τέμνουν τον εγγεγραμμένο κύκλο του $\rm ABC$ στα $\rm A_2,B_2,C_2$ αντίστοιχα.Να δειχθεί ότι οι $\rm A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$ συντρέχουν.

: 302.PNG (39.19 KiB) Προβλήθηκε 971 φορές

Xriiiiistos · #2

Είναι γνωστό ότι $sinSAB_{1}/sinSAC_{1}=(A_{2}B_{1}/C_{1}A_{2})^{2}$ απο αυτήν την σχέση κυκλικά και από θ. Ceva έχουμε

$\dfrac{sin\widehat{SAB_{1}}}{sin\widehat{SAC_{1}}}\cdot \dfrac{sin\widehat{SBC_{1}}}{sin\widehat{SBA_{1}}}\cdot \dfrac{sin\widehat{SCA_{1}}}{sin\widehat{SCB_{1}}}=1\Leftrightarrow \dfrac{A_{2}B_{1}}{A_{2}C_{1}}\cdot \dfrac{B_{2}C_{1}}{B_{2}A_{1}}\cdot \dfrac{C_{2}A_{1}}{C_{2}B_{1}}=1$ (1)

Αφού ισχύει η (1) και $A_{1},A_{2},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}$ είναι ομοκυκλικά έχουμε την ζητούμενη συντρέχεια.
Μιας και δεν νομίζω να είναι ιδιαίτερα γνωστή πρόταση κάνω και την απόδειξη έστω $C_{1}C_{2}\cap B_{1}B_{2}\equiv O$ KAI $A_{2}0$ ξανατέμνει τον κύκλο στο $A'_{1}$ τότε έχουμε

$\dfrac{B_{1}C_{2}}{C_{1}B_{2}}\cdot \dfrac{B_{2}A'_{1}}{A_{2}B_{1}}=\dfrac{C_{2}O}{B_{2}O}\cdot \dfrac{B_{2}O}{A_{2}O}=\dfrac{C_{2}O}{A_{2}O}=\dfrac{A'_{1}C_{2}}{C_{1}A_{2}}$ (2)

Από (1),(2) παίρνουμε $\dfrac{A_{1}C_{2}}{A_{1}B_{2}}=\dfrac{A´_{1}C_{2}}{A'_{1}B_{2}}$ και αφού $A_{1},A'_{1}$ ανήκουν στον ίδιο κυκλικό τομέα που ορίζει η $B_{2}C_{2}$ ισχύει $A_{1}\equiv A'_{1}$ .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

Ευχαριστώ Χρήστο για την αντιμετώπιση ,δίνω μία ακόμη:

Έστω $\rm X\equiv B_1B_2 \cap C_1C_2$ .Επειδή $\rm X$ εσωτερικό σημείο του έγκυκλου μπορώ να θεωρήσω προβολικό μετασχηματισμό που στέλνει τον κύκλο αυτό σε κύκλο και $\rm X$ το κέντρο του.Έτσι τα $\rm B_2'B_1',C_2'C_1'$ είναι διαμέτροι (οι εικόνες των πλευρών του $\rm ABC$ θα εφάπτονται στην εικόνα του έγκυκλου) και έτσι το $\rm S'$ θα είναι το σημείο $\rm Nagel$ του $\rm A'B'C'$ .Άρα και η ευθεία $\rm A_1'A_2'$ περνά από το κέντρο του κύκλου δηλαδή το $\rm X'$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε(γενικά με $\rm T'$ παριστάνω την εικόνα του $\rm T$ ).

Συντρέχεια

Συντρέχεια

Re: Συντρέχεια

Re: Συντρέχεια

Μέλη σε σύνδεση