Παράλληλες και κάθετες

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9581
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Παράλληλες και κάθετες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 20, 2020 8:06 pm

Συντρέχεια..png
Συντρέχεια..png (20.43 KiB) Προβλήθηκε 990 φορές
AD είναι το ύψος τριγώνου ABC. Πάνω στην AC θεωρούμε τα σημεία E, K ώστε DE||AB, DK\bot AC.

Ανάλογα ορίζονται τα σημεία F, L πάνω στην AB. Να δείξετε ότι οι EF, KL τέμνονται πάνω στην ευθεία BC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 776
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Παράλληλες και κάθετες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Απρ 20, 2020 8:21 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Απρ 20, 2020 8:06 pm
Συντρέχεια..png
AD είναι το ύψος τριγώνου ABC. Πάνω στην AC θεωρούμε τα σημεία E, K ώστε DE||AB, DK\bot AC.

Ανάλογα ορίζονται τα σημεία F, L πάνω στην AB. Να δείξετε ότι οι EF, KL τέμνονται πάνω στην ευθεία BC.
Έστω \rm P_1\equiv KL \cap BC,P_2 \equiv EF \cap BC.Από θεώρημα Μενελάου στο \rm ABC για τις διατέμνουσες \rm \overline{P_1LK},\overline{P_2FE} παίρνουμε
\left\{\begin{matrix} & \rm \dfrac{P_1B}{P_1C}=\dfrac{LB}{LA}\cdot \dfrac{KA}{KC}=\dfrac{BD^2}{DC^2} & \\ & \rm \dfrac{P_2B}{P_2C}=\dfrac{FB}{FA}\cdot \dfrac{EA}{EC}=\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BD^2}{DC^2} & \end{matrix}\right.\rm \Rightarrow P_1\equiv P_2


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9581
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παράλληλες και κάθετες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 20, 2020 8:46 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Δευ Απρ 20, 2020 8:21 pm
george visvikis έγραψε:
Δευ Απρ 20, 2020 8:06 pm
Συντρέχεια..png
AD είναι το ύψος τριγώνου ABC. Πάνω στην AC θεωρούμε τα σημεία E, K ώστε DE||AB, DK\bot AC.

Ανάλογα ορίζονται τα σημεία F, L πάνω στην AB. Να δείξετε ότι οι EF, KL τέμνονται πάνω στην ευθεία BC.
Έστω \rm P_1\equiv KL \cap BC,P_2 \equiv EF \cap BC.Από θεώρημα Μενελάου στο \rm ABC για τις διατέμνουσες \rm \overline{P_1LK},\overline{P_2FE} παίρνουμε
\left\{\begin{matrix} & \rm \dfrac{P_1B}{P_1C}=\dfrac{LB}{LA}\cdot \dfrac{KA}{KC}=\dfrac{BD^2}{DC^2} & \\ & \rm \dfrac{P_2B}{P_2C}=\dfrac{FB}{FA}\cdot \dfrac{EA}{EC}=\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BD^2}{DC^2} & \end{matrix}\right.\rm \Rightarrow P_1\equiv P_2
Είσαι ασταμάτητος! :coolspeak:


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4030
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Παράλληλες και κάθετες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Απρ 20, 2020 10:37 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Απρ 20, 2020 8:06 pm
Συντρέχεια..png
AD είναι το ύψος τριγώνου ABC. Πάνω στην AC θεωρούμε τα σημεία E, K ώστε DE||AB, DK\bot AC.

Ανάλογα ορίζονται τα σημεία F, L πάνω στην AB. Να δείξετε ότι οι EF, KL τέμνονται πάνω στην ευθεία BC.
Ενδιαφέρον θέμα . Υπάρχει και γωνιακή απόδειξη (Το P είναι το ριζικό κέντρο τριών ανά δύο τεμνομένων κύκλων)

Θα περιμένω την απάντηση και θα επανέλθω αν δεν δοθεί


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4030
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Παράλληλες και κάθετες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Απρ 21, 2020 10:02 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Απρ 20, 2020 8:06 pm
Συντρέχεια..png
AD είναι το ύψος τριγώνου ABC. Πάνω στην AC θεωρούμε τα σημεία E, K ώστε DE||AB, DK\bot AC.

Ανάλογα ορίζονται τα σημεία F, L πάνω στην AB. Να δείξετε ότι οι EF, KL τέμνονται πάνω στην ευθεία BC.
Ας δούμε και μια διαφορετική (διαφορετική από αυτή που πρότεινα στην προηγούμενη ανάρτηση) από την αντιμετώπιση του Πρόδρομου που έχει «πάρει παραμάζωμα» θέματα αρκετών ετών !!!!
Παράλληλες και κάθετες.png
Παράλληλες και κάθετες.png (37.89 KiB) Προβλήθηκε 868 φορές
Έστω P\equiv BC\cap KL . Προφανώς (λόγω των ορθών γωνιών \angle DLA=\angle DKA={{90}^{0}} ) το τετράπλευρο ALDK είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου AD και κέντρου O (το κέντρο του παραλληλογράμμου AFDE ) που προφανώς PD\left( AD\bot BD \right) εφαπτόμενο τμήμα του από το P και ας είναι PS το δεύτερο εφαπτόμενό του τμήμα.
Τότε το τετράπλευρο DLSK είναι αρμονικό και συνεπώς (για το σημείο του κύκλου A ) η δέσμη A.SLDK\equiv A.SFDE είναι αρμονική και με O το μέσο της FE\Rightarrow SA\parallel FE\overset{SA\bot SD,O\,\,\kappa \varepsilon \nu \tau \rho o\,\,\tau o\upsilon \,\,\kappa \upsilon \kappa \lambda o\upsilon }{\mathop{\Rightarrow }}\,EF μεσοκάθετη της χορδής του SD η οποία προφανώς διέρχεται από το σημείο τομής P των εφαπτομένων στα άκρα της εν λόγω χορδής του και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Παράλληλες και κάθετες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Τετ Απρ 22, 2020 12:38 pm

Κλασσικό παράδειγμα για εξοικείωση στους Διπλούς λόγους.

\bullet Για να συντρέχουν οι ευθείες EF,\ KL,\ BC, αρκεί να αποδειχθεί ότι οι σημειοσειρές A,\ F,\ L,\ B και A,\ E,\ K,\ C έχουν ίσους Διπλούς λόγους.

Αρκεί να αποδειχθεί δηλαδή ότι ισχύει (A,F,L,B) = (A,E,K,C)\ \ \ ,(1)

Παρατηρούμε ότι στις δέσμες D.AFLB,\ D.CKEA οι γωνίες που σχηματίζουν οι ομόλογες ακτίνες τους είναι ίσες.

( \angle ADF = \angle CAE = \angle CDK και \angle FDL = 90^{o} - \angle A = \angle KDE και \angle LDB = \angle DAB = \angle EDA )

Επομένως, οι δέσμες αυτές έχουν ίσους Διπλούς λόγους και άρα, ισχύει (D.AFLB) = (D.CKEA)\ \ \ ,(2)

Οι ως άνω δέσμες τέμνονται από τις ευθείες AB,\ AC αντιστοίχως και άρα, έχουμε

(D.AFLB) = (A,F,L,B)\ \ \ ,(3) και (D.CKEA) = (C,K,E.A)\ \ \ ,(4)

Από (2),\ (3),\ (4)\Rightarrow (A,F,L,B) = (C,K,E,A)\ \ \ ,(5)

Αλλά, ισχύει (C,K,E,A) = (A,E,K,C)\ \ \ ,(6)

( η τιμή του Διπλού λόγου δεν μεταβάλλεται όταν δύο στοιχεία μέσα στην παρένθεση αλλάξουν θέση μεταξύ τους και ταυτόχρονα τα υπόλοιπα στοιχεία, αλλάξουν επίσης θέση μεταξύ τους ).

Έτσι, από (5),\ (6)\Rightarrow (1) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1859
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Παράλληλες και κάθετες

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Απρ 22, 2020 2:59 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Απρ 20, 2020 8:06 pm
Συντρέχεια..png
AD είναι το ύψος τριγώνου ABC. Πάνω στην AC θεωρούμε τα σημεία E, K ώστε DE||AB, DK\bot AC.

Ανάλογα ορίζονται τα σημεία F, L πάνω στην AB. Να δείξετε ότι οι EF, KL τέμνονται πάνω στην ευθεία BC.
Όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες με την γωνία B και οι κόκκινες με την γωνία A.

Επομένως, MKCD εγγράψιμο,άρα CM \bot ED και \triangle FLD \simeq  \triangle EMC όπως και \triangle LBD \simeq  \triangle MDC

\dfrac{FL}{EM}= \dfrac{LD}{MC}= \dfrac{LB}{MD}.Έτσι,σύμφωνα με το θ.κ.δέσμης οι CB,KL,EF συντρέχουν
Παράλληλες και κάθετες.png
Παράλληλες και κάθετες.png (27.66 KiB) Προβλήθηκε 770 φορές


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4030
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Παράλληλες και κάθετες

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Απρ 22, 2020 7:19 pm

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε:
Τετ Απρ 22, 2020 2:59 pm
george visvikis έγραψε:
Δευ Απρ 20, 2020 8:06 pm
Συντρέχεια..png
AD είναι το ύψος τριγώνου ABC. Πάνω στην AC θεωρούμε τα σημεία E, K ώστε DE||AB, DK\bot AC.

Ανάλογα ορίζονται τα σημεία F, L πάνω στην AB. Να δείξετε ότι οι EF, KL τέμνονται πάνω στην ευθεία BC.
Όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες με την γωνία B και οι κόκκινες με την γωνία A.

Επομένως, MKCD εγγράψιμο,άρα CM \bot ED και \triangle FLD \simeq  \triangle EMC όπως και \triangle LBD \simeq  \triangle MDC

\dfrac{FL}{EM}= \dfrac{LD}{MC}= \dfrac{LB}{MD}.Έτσι,σύμφωνα με το θ.κ.δέσμης οι CB,KL,EF συντρέχουν

Παράλληλες και κάθετες.png
:coolspeak:


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1290
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Παράλληλες και κάθετες

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Παρ Απρ 24, 2020 2:55 am

Η άσκηση βγαίνει αν χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω γνωστή πρόταση(γιατί;): (απόδειξη με Pascal)
viewtopic.php?f=112&t=24361&p=122491&hi ... al#p122491


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5492
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Παράλληλες και κάθετες

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Απρ 24, 2020 10:28 am

Ας υπενθυμίσουμε εδώ το βασικό πρόβλημα (σύμπλεγμα ευθειών και κύκλων), μέσω του σχήματος, που τα μαρτυρά όλα και που ακολουθεί, και που σε συνδυασμό με το μονοσήμαντο των στοιχείων, έχουμε την ταύτiση των F και των E, του σχήματος της εκφώνησης με των αντίστοιχων του εδώ προβλήματος. To πρόβλημα που ανέφερα, και για την ιστορία, αποδεικνύεται "γρήγορα" ως εφαρμογή του θεωρήματος: σε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της κάθετης πλευράς του ισούται με το γινόμενο της υποτείνουσας επί τη προβολή της κάθετης πλευράς στην υποτείνουσα (ή θεωρία ριζικού άξονα) για να αποδείξουμε την ομοκυκλικότητα των L,B,C,K και ακολουθεί το κέντρο P της ομοιοθεσίας για τα τρίγωνα FBD, EDC.
ΑΑ.png
ΑΑ.png (25.51 KiB) Προβλήθηκε 595 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης