Παραλληλία και ελάχιστο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11614
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παραλληλία και ελάχιστο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Απρ 22, 2020 11:15 am

Παραλληλία  και  ελάχιστο.png
Παραλληλία και ελάχιστο.png (15.86 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές
Το ισοσκελές τρίγωνο ABC έχει σταθερή βάση BC=a και μεταβλητά σκέλη . Η διχοτόμος της \hat{B} ,

τέμνει τον περίκυκλο (O) του τριγώνου στο σημείο D . Ο κύκλος (A , O , D ) τέμνει την AB στο S .

α) Δείξτε ότι SD \parallel BC ... β) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του τμήματος OS .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5428
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Παραλληλία και ελάχιστο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Απρ 22, 2020 10:24 pm

Για το 1ο :

Αν θεωρήσουμε το ευθύγραμμο τμήμα OD, έχουμε OD \bot AC \Rightarrow \angle DSA = \angle DOA = \angle B \Rightarrow SD\parallel BC.

Για το 2ο :

Αν θεωρήσουμε ως βοηθητικά για κάποιες ενδιάμεσες πράξεις δεδομένα το μέσο M της πλευράς BC και H το μέσο της AB, από τον νόμο του ημιτόνου στο τρίγωνο ASO παίρνουμε:
\displaystyle{\frac{{OS}}{{\sin \frac{A}{2}}} = \frac{{OA}}{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{B}{2}} \right)}} \Rightarrow \frac{{OS}}{{\frac{a}{{2AB}}}} = \frac{{OB}}{{\cos \frac{B}{2}}} \Rightarrow ...} \displaystyle{ \Rightarrow OS = \frac{a}{{8\sin \frac{B}{2}{{\cos }^2}\frac{B}{2}}} \Rightarrow ... \Rightarrow OS\mathop  = \limits^{t = \sin \frac{B}{2}} \frac{a}{{8\left( {t - {t^3}} \right)}},\;0 < t < \frac{{\sqrt 2 }}{2}.}
Εδώ ζητάμε το μέγιστο της \displaystyle{f\left( t \right) = t - {t^3},\;t \in \left( {0,\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).}
Παρατηρούμε \displaystyle{{f{'}}\left( t \right) = 1 - 3{t^2},\;t \in \left( {0,\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right),\;\frac{{\sqrt 3 }}{3} \in \left( {0,\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).}
Έτσι διαπιστώνουμε ότι το μέγιστο της \displaystyle{f\left( t \right) = t - {t^3},\;t \in \left( {0,\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)} είναι το \displaystyle{f\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = \frac{{2\sqrt 3 }}{9}.}
Με αντικατάσταση παίρνουμε \displaystyle{O{S_{\min }} = \frac{{3\sqrt 3 \,a}}{{16}}.}


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9327
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παραλληλία και ελάχιστο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Απρ 23, 2020 12:41 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Απρ 22, 2020 11:15 am
Παραλληλία και ελάχιστο.pngΤο ισοσκελές τρίγωνο ABC έχει σταθερή βάση BC=a και μεταβλητά σκέλη . Η διχοτόμος της \hat{B} ,

τέμνει τον περίκυκλο (O) του τριγώνου στο σημείο D . Ο κύκλος (A , O , D ) τέμνει την AB στο S .

α) Δείξτε ότι SD \parallel BC ... β) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του τμήματος OS .

Έστω M, N τα μέσα των BC, AB αντίστοιχα και AB=AC=x. To α) όπως ο Σωτήρης.
Παραλληλία και ελάχιστο.png
Παραλληλία και ελάχιστο.png (20.13 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές
β) \displaystyle \theta  = \frac{{B\widehat SD}}{2} = 90^\circ  - \frac{{\widehat B}}{2} \Rightarrow \sin \theta  = \cos \frac{B}{2} \Leftrightarrow \frac{{ON}}{{OS}} = \cos \frac{B}{2} \Leftrightarrow \boxed{OS = \frac{{ON}}{{\cos \frac{B}{2}}}} (1)

\displaystyle \frac{{ON}}{{OM}} = \frac{{AN}}{{AM}} \Leftrightarrow \frac{{2ON}}{a} = \frac{x}{{2{h_a}}} \Leftrightarrow \boxed{ON = \frac{{ax}}{{2\sqrt {4{x^2} - {a^2}} }}} (2)

\displaystyle \cos \frac{B}{2} = \sqrt {\frac{{1 + \cos B}}{2}}  = \frac{{\sqrt {2x + a} }}{{2\sqrt x }}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1),(2)} \boxed{OS = f(x) = \frac{{ax\sqrt x }}{{(2x + a)\sqrt {2x - a} }}}

Με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω ότι η f παρουσιάζει για \boxed{x=\frac{3a}{2}} ελάχιστη τιμή ίση με \boxed{{(OS)_{\min }} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{{16}}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7199
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παραλληλία και ελάχιστο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Απρ 23, 2020 2:03 pm

Μια αμιγώς γεωμετρική
Παραλληλία κι ελάχιστο.png
Παραλληλία κι ελάχιστο.png (45.96 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές
Επειδή y \geqslant d θα προκύψει : \boxed{h = AM = a\sqrt 2 \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,b = \frac{{3a}}{2}}


Αργότερα λεπτομέρειες


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης